第4章　效用最大化與選擇

1．三年級學生保羅每天在校用餐，它只喜歡Twinkie（）和蘇打水（），他從中得到的效用為：。

（1）如果每份Twinkie為0.1美元，蘇打水每瓶為0.25美元，為了使效用最大化，保羅應該如何將媽媽給他的1美元伙食費分配在這兩種食物上？

（2）學校為了減少Twinkie的消費，將其價格提高到每份0.4美元，那么為了讓保羅得到與（1）中相同的效用，媽媽現在要給他多少伙食費？

解：（1）對效用函數進行單調變換，令，這并不改變偏好次序。

保羅效用最大化問題為：

設拉格朗日函數為：

一階條件為：



解得：，。

因此，他所獲得的效用：。

（2）消費品Twinkie價格提高了，但效用水平卻保持不變，則保羅面臨如下的支出最小化問題：

設拉格朗日函數為：

一階條件為：

  （1）

  （2）

　 （3）

由上述三式解得，，則最小支出為：，所以媽媽現在要給他2美元伙食費使他的效用水平保持不變。

2．（1）一位年輕的品酒師欲支出300美元建一小酒窖，他特別喜歡兩種酒：一種是1997年生產的昂貴的法國波爾多白葡萄酒（），每瓶價格為20美元；另一種是稍微便宜的2002年產的加利福利亞葡萄酒（），每瓶4美元。如果他的效用函數如下式所示，則他將在每種酒上花多少錢？

（2）當他來到酒店時，我們年輕的品酒師發現由于法郎貶值，1997年產的法國波多爾白葡萄酒（）已經降到每瓶10美元。如果加利福尼亞葡萄酒依然是每瓶4美元，此時，在價格已變的情況下，為了實現最大效用，他每種酒的購買量應該是多少？

（3）請解釋為什么該品酒師在（2）中比（1）中的狀況要好。你如何用貨幣值來衡量效用的增加？

解：（1）該品酒師的效用最大化問題為：

設拉格朗日函數為：

一階條件為：

從而可以解得：，。

因此為使效用最大化，該品酒師應該在法國白葡萄酒上花200美元，在加利福利亞葡萄酒上花100美元。

（2）當法國波多爾白葡萄酒價格下降時，品酒師的效用最大化問題變為：

設拉格朗日函數為：

一階條件為：



解得：，。故價格變化后，為實現最大效用，品酒師應購買法國白葡萄酒20瓶，購買加利福尼亞葡萄酒25瓶。

（3）在（1）中，品酒師的效用為：；

在（2）中，品酒師的效用為：。

因而為了實現（2）中的效用水平，此人需要更多的收入。

根據柯布-道格拉斯效用函數的性質可知，品酒師對兩種葡萄酒的需求函數分別為：

代入效用函數可得他的間接效用函數為：。

現在有，從而可以解得收入為：。在此收入下，該品酒師者將購買的商品數量為：，，獲得的效用為。

3．（1）在某一個晚上，J.P.以下列函數的形式享用雪茄（）和白蘭地（）：

那么他這天晚上要抽多少支雪茄，喝多少瓶白蘭地酒才能得到最大效用？（假定他不受預算約束）

（2）后來，J.P.的醫生告誡他：每天喝的白蘭地與抽的雪茄加起來不能超出5單位。在這一條件下，他會喝多少白蘭地，抽多少雪茄？

解：（1）在無約束下，J.P.的效用最大化問題為：

效用最大化的一階條件為：



解得，。從而可知J.P.所獲得的最大效用為：。

（2）J.P.所受的約束為：，此時他的效用最大化問題為：

設拉格朗日函數為：

一階條件為：

從而可以解得：，，。

4．（1）奧德鮑爾先生享用商品和所得的效用函數為：

如果美元，美元，而他的總收入為50美元，求他所能得的最大效用？

提示：求的最大值要比求的最大值方便得多，但這種方法為什么不影響計算結果呢？

（2）畫出奧德鮑爾的無差異曲線，并做出無差異曲線與預算線的切點，曲線圖是如何描述奧德鮑爾的行為的？你能找到真正的最大值嗎？

解：（1）因為可由經過單調變換得到，所以，最大化同時也就使最大化。因此，奧德鮑爾的效用最大化問題可以表述為：

最優化問題的拉格朗日函數為：

一階條件為：

從而可以解得：，，。

（2）奧德鮑爾的無差異曲線如圖4-1所示，顯然該無差異曲線沒有遞減的。無差異曲線與預算線的切點如圖4-1中的點所示。在點處，僅滿足效用最大化的必要條件，但是不滿足充分條件，因而點不是一個局部最優點，效用最大化的點應該是點，奧德鮑爾將其所有的收入用于購買，而商品的購買量為零。在這里，他的效用函數不是凸的，而是凹的。在偏好為凹的情況下，效用最大化點一定在邊界上取得。

圖4-1  奧德鮑爾的無差異曲線圖

5．A先生從馬丁尼酒（）中所得的效用與馬丁尼酒的消耗量成正比：。

A先生特別喜歡他的馬丁尼，但他只喜歡喝將杜松子酒（）與苦艾酒（）按2∶1的固定比例混合而成的馬丁尼酒，因此，我們可以將A先生的效用函數改寫為：

（1）畫出A先生以與為變量的各種效用水平的無差異曲線，請說明無論這兩種配料酒的價格如何，A先生永遠不會改變他配制馬丁尼酒的方法。

（2）求出對與的需求函數。

（3）利用（2）的結論，求出A先生的間接效用函數。

（4）試計算A先生的支出函數；對于每一種效用水平，將支出表示成和的函數。

解：（1）A先生的無差異曲線如圖4-2所示。無論商品與的相對價格（即預算線的斜率）如何，效用最大化的點始終是無差異曲線的折點，即滿足也即的點。

圖4-2  A先生的無差異曲線

（2）將代入預算約束可得：

從而可以解得：，。

（3）因為，將或代入效用函數中，得間接效用函數為

。

（4）利用對偶性可得，支出函數為：

6．假設一位快餐食品愛好者從以下三種商品中獲得效用：軟飲料（），漢堡包（）和圣代冰淇淋（），他的效用函數為柯布—道格拉斯型的，即：

同時假設三種商品的價格分別為：，，，該消費者的收入為。

（1）證明：對于，效用最大化的結果將與例4.1相同。此外，任何導致（甚至是微小的）的選擇都將導致最優結果的減小。

（2）你如何解釋是最優的？

（3）為了使的消費量大于0，消費者的收入應該有多高？

解：（1）如果，，則；

如果，則，因為。

如果略大于0（不妨設），則利用柯布-道格拉斯效用函數的性質可得：

因而效用為：

（2）在，，處，有：

，

因而在處，從獲得的邊際效用“不值”商品的價格。效用函數中的“1”導致了在任何正的數量時已經具有遞減的邊際效用。商品滿足“互補松弛”原理。

（3）如果收入，則最優選擇為：，，（可以利用拉格朗日方法求解，此處略去）。為了找到在任何處的購買量，可以利用柯布-道格拉斯函數的性質，即：

從而可得：或，因此，對于，必有。

7．對于柯布-道格拉斯效用函數（）。

（1）求解此柯布-道格拉斯效用函數的間接效用函數。

（2）求解支出函數。

（3）考察用于抵消價格上漲的影響所需的補償如何與指數的大小有關。

解：（1）對于柯布-道格拉斯效用函數，其相應的需求函數為：

，

將需求函數代入效用函數中，得間接效用函數為：

其中，。

（2）利用對偶原理，可以從間接效用函數中解出支出函數為：

（3）支出關于價格的彈性值為：。

即：在效用函數中越重要，則支出份額中用于補償其價格上漲的比例也越大。

8．圖4-3中所示的總額原則也可以應用于轉移支付政策和稅收方面。此題將考察這些原則的應用。

圖4-3  稅收中的一次總付原則

（1）利用一個類似于圖4-3的圖來證明，相同數額的收入補貼比對商品的補貼能夠消費者帶來更大的效用。

（2）利用方程4.52中所示的柯布-道格拉斯支出函數，計算消費者效用從提高至時所需增加的支出。

（3）再次利用方程4.52來估計消費者效用從增至時所需對商品補貼的程度。如果將該成本與（2）中的成本進行比較？

（4）第7題要求你計算一個比例4.4中更為一般的柯布-道格拉斯效用函數相應的支出函數。利用支出函數，再次重做（2）與（3），其中。

（5）如果我們利用固定比例情形下（方程4.54）的支出函數，此題的計算結果將如何變化？

解：（1）如圖4-4所示，收入補貼可以使消費者的效用達到，而對的商品補貼僅能使效用達到，因而相同數額的收入補貼比對商品的補貼能夠消費者帶來更大的效用。

圖4-4  收入補貼與商品補貼對消費者效用的影響

（2）對于方程4.52中的科布-道格拉斯函數而言，其支出函數為：

在，，下，支出為。當效用為時，支出為：，因而所需要增加的支出為4。

（3）現在，支出為，即，從而可以解得：。也就是說，每單位必須補貼5/9。在此補貼價格下，消費者將選擇購買。所以總補貼金額為5，比（2）中的補貼額高1。

（4）當時，支出函數為：。

因而當，，時，。將效用增至3需要額外支付4.86。

而商品補貼則要求價格為，即每單位補貼0.74元，在較低的價格下，消費者將選擇，因而總的補貼額為8.29。

（5）方程4.54中的柯布-道格拉斯函數，其支出函數為：

在，，時，支出為。當效用為時，支出為，因而所需要增加的支出為2。

在支出為4時，要滿足效用水平為3，需要政府對價格進行補貼，假設補貼后價格為，，解得，故每單位需要補貼0.667。

在此價格下，消費者選擇購買3個單位的，政府補貼金額為2，價格補貼金額與在一次總付補貼下一致，因為固定比例下，消費者需求是固定比例，價格變化沒有扭曲消費者行為。

9.CES效用函數的一般形式為：

（1）證明：上述函數在約束條件下，效用最大化的一階條件是消費者按一定比例選擇商品，這個比例式為：

（2）前面我們在討論一些問題時已經知道，對于柯布—道格拉斯函數（），消費者將在與之間平等分配費用，證明（1）中的結論也包含了這種情況。

（3）的值與的值有什么關系？直觀地解釋你的結論。

（4）利用拉格朗日方法求解此問題的支出函數。

答：（1）對于此CES效用函數而言，在效用最大化時，有：

從而可以解得：

其中，。

（2）如果，則有，因而有，其中，為消費者收入，即消費者將在與之間平等分配費用。

（3）由（1）可知，所以，當時，收入中用于購買的相對份額與其相對價格正相關；當時，收入中用于購買的相對份額與其相對價格負相關。

（4）支出最小化問題為：

設拉格朗日函數為：

一階條件為：

從而可以解得：

所以，支出函數為：

10．消費者需要一定量的食品（）來維持生存，假設這個量為。一旦購買的食品，消費者將從與其他商品（）得到效用：

其中，。

（1）證明：如果，則為了取得最大效用，消費者將會在食品上花費，在商品上花費。解釋這一結果。

（2）在這個問題上，如果收入增加，，的比值將會怎樣變化？

解：（1）如果，則效用值為負，因而消費者將會首先支出。對于剩余的收入，這是一個標準的柯布-道格拉斯效用函數最大化問題，從而有：

（2）由（1）以及預算約束條件可得：

對取極限可得：