第2章　最優化的數學表達

1．假設。

（1）計算偏導數，。

（2）求出上述偏導數在，處的值。

（3）寫出的全微分。

（4）計算時的值——這意味著當保持不變時，與的替代關系是什么？

（5）驗證：當，時，。

（6）當保持時，且偏離，時，和的變化率是多少？

（7）更一般的，當時，該函數的等高線是什么形狀的？該等高線的斜率是多少？

解：（1）對于函數，其關于和的偏導數分別為：

，

（2）當，時，（1）中的偏微分值分別為：

，

（3）的全微分為：

（4）當時，由（3）可知：，從而可以解得：。

（5）將，代入的表達式，可得：。

（6）由（4）可得，在，處，當保持不變，即時，有：

（7）當時，該函數變為：，因而該等高線是一個中心在原點的橢圓。由（4）可知，該等高線在（，）處的斜率為：。

2．假定公司的總收益取決于產量（），即總收益函數為：；

總成本也取決于產量（）：。

（1）為了使利潤（）最大化，公司的產量水平應該是多少？利潤是多少？

（2）驗證：在（1）中的產量水平下，利潤最大化的二階條件是滿足的。

（3）此處求得的解滿足“邊際收益等于邊際成本”的準則嗎？請加以解釋。

解：（1）由已知可得該公司的利潤函數為：

利潤最大化的一階條件為：

從而可以解得利潤最大化的產量為：；

相應的最大化的利潤為：。

（2）在處，利潤最大化的二階條件為：，因而滿足利潤最大化的二階條件。

（3）在處，邊際收益為：；

邊際成本為：；

因而有，即“邊際收益等于邊際成本”準則滿足。

3．假設。如果與的和是1，求此約束下的最大值。利用代入消元法和拉格朗日乘數法兩種方法來求解此問題。

解：（1）代入消元法

由可得：，將其代入可得：。

從而有：，可以解得：。從而，。

（2）拉格朗日乘數法

的最大值問題為：

構造拉格朗日函數為：

一階條件為：

從而可以解得：，因而有：。

4．對偶函數為：

利用拉格朗日乘數法求解上述最小化問題。

解：設最小化問題的拉格朗日函數為：

一階條件為：

從而有：，，從而可以解得：。

5．以一定的力垂直上拋的小球的高度是其被拋出時間（）的函數：

其中，是由重力所決定的常數。

（1）小球處于最高處的時間如何取決于參數？

（2）利用你在（1）問中的答案來描述：隨著參數的變化，小球的最大高度如何變化。

（3）利用包絡定理直接給出（2）問中的答案。

（4）在地球上，，但是這個值在某些地區會有差異。如果兩個地方重力加速度的差異為0.1，則在上述兩個地區所拋出的小球的最大高度之間的差異是多少？

解：（1）對高度函數關于時間求導數可得：

從而可以解得使高度最大的時間為：，從而可知小球處于最高處的時間與參數成反比例關系。

（2）將代入高度函數中可得：

從而有：，即：隨著的增大，最大高度將變小。

（3）由包絡定理可知：取決于，因為取決于。

因而有：。

（4）當時，最大高度為：；

當時，最大高度為：；

因而兩地最大高度的差異為：。

6．制作一個油輪模型的一個簡單的方法是，首先選擇一塊寬為英尺、長為英尺的長方形鋼板，接著在每個角處減去一個邊長為英尺的正方形，然后疊起剩余的四邊做成一個無蓋的托盤。（如圖2-1所示，去掉陰影部分的四個邊長為的正方形，然后疊起）

圖2-1  油輪模型的制作

（1）驗證：該托盤可裝油的體積為：

（2）應該如何選擇，才能使給定下的最大？

（3）是否存在一個使得所裝油的體積最大？

（4）假設一個造船商受到限制，只能用1000000平方英尺的鋼板來建造一個油輪。該約束條件可以用方程

來表示（因為可以將去掉的鋼板做退回處理）。如何將該受約束的最大化問題的解與（2）和（3）問中的解進行比較？

解：（1）如圖2-1所示，長方形四個角處去掉一個邊長為的正方形后疊起來的托盤是一個長方體，該長方體的長為（），寬為（），高為，因而其體積為：

（2）由體積函數為，體積最大化的一階條件為：

從而可以解得：，即：，。

二階條件為：，只有當時，才有。

即只有當才能使給定下的最大。

（3）當時，。因而當增大時，隨之增大，沒有極限。因此，不存在一個使得所裝油的體積最大。

（4）受約束的最優化問題為：

設拉格朗日函數為：

一階條件為：

從而可以利用拉格朗日乘數法求得最優的、。顯然，該受約束的最大化問題的解將有別于（2）和（3）中求解出來的解。

7．考慮如下受約束的最優化問題：

其中是一個可以被賦予任何特定值的常數。

（1）驗證：如果，則此問題可以視為僅包括一個等式約束的問題的求解。

（2）驗證：當時，此問題的解要求。

（3）如果此問題的解須為非負，則當時，最優解是什么？

（4）當時，此問題的解是什么？通過將此解與（1）問中的解比較，你可以得出什么結論？

（注意：此問題涉及“擬線性函數”。這樣的函數提供了消費者理論中的某些類型的消費行為的重要例子。）

解：（1）設拉格朗日函數為：

一階條件為：

從而可以解得：，即。當時，最優解為：。

（2）當時，由（1）中的一階條件可以解得：，，因此結論成立。

（3）如果此問題的解非負時，最優解為：，，。因為任何正的的值都將使變小。

（4）如果，則由（1）可得最優解為：，。因為給提供了一個遞減的邊際增量，而卻沒有，所以，所有的最優解要求一旦增至5，額外的增量應該全部由的增加來實現。

8．證明：如果是一個凹函數，它同時也是一個擬凹函數。可以通過比較方程2.114（定義擬凹性）和方程2.98（定義凹性）來完成驗證。你能給出這個結論的一個直觀的解釋嗎？擬凹函數必然是凹的嗎？

方程2.98為：；

方程2.114為：。

證明：（1）由凹函數和擬凹函數的定義可知：

函數，對定義域（凸集）上任意兩點，，，如果有

，則稱函數為凹函數。

函數，對定義域（凸集）上任意兩點，，，如果有，則稱函數為擬凹函數。

可知，對于凹函數有：

因而可以從凹函數推出擬凹函數，反之，則不成立。

（2）直觀的，從圖形上看，函數為擬凹表示線段、之間的點的函數值要高于點，或者說曲線之間的點都高于點。顯然，當函數是凹函數，曲線呈一個倒置的鍋，則上述性質是滿足的。從這一點看，凹函數一定是擬凹函數。但是，這不是必要的。如圖2-2所示，在曲線段，函數是凹的；而在段，函數是凸的。這說明擬凹函數的概念要比凹函數更弱。

圖2-2  凹函數與擬凹函數

9．柯布-道格拉斯函數：，其中，和都是小于1的正的常數。

（1）利用方程計算，從而驗證該函數是一個擬凹函數。

（2）通過驗證任何（為任何正的常數）的上水平線都是凸的，從而任何滿足的集合都是凸的，來驗證柯布—道格拉斯函數是擬凹函數。

（3）驗證：如果，則柯布—道格拉斯函數不是凹函數（從而表明不是所有的擬凹函數都是凹函數）。

證明：（1）分別對柯布-道格拉斯函數求一階、二階導數可得：

從而可得：，因而可知柯布-道格拉斯函數是一個擬凹函數。

（2）如果，則，因而當、時，是的凸函數。關于擬凹函數的一個重要性質是，如果函數是擬凹的，則當且僅當集合是凸集，其中是任意常數。集合

為函數的上等值集合。

（3）由方程2.98可知：

當時，該式是負的，因而此時函數不是凹函數，從而可知，并非所有的擬凹函數都是凹函數。

10．冪函數，其中，（有時，也可以考慮為負的情形，此時利用來確保導數有恰當的符號）。

（1）證明：此函數是凹函數。注意到當的特殊情況，以及僅當時，該函數才是“嚴格”凹的。

（2）證明：冪函數的多元形式也是一個凹函數（和擬凹函數）。解釋在這種情況下，為什么使得凹形的確定變得極其簡單。

（3）一種將“規模”效應融入該函數的方法是，對（2）問中的函數進行單調變換：

其中，是一個正的常數。這種變換是否仍保持函數的凹性？是擬凹的嗎？

證明：（1）當時，因為，，所以此時函數是嚴格凹函數。

（2）對于冪函數，有：，；，

。

因為，，且，所以滿足，因而該函數是凹函數。

（3）因為是擬凹函數，所以是擬凹函數。但是，當時，不是凹函數。所有這些結論可以通過對的偏微分以及方程和來驗證。