第3章　多重線性回歸

3.1　什么是多重線性回歸

先從一個(gè)簡單的研究說起。作者曾在大學(xué)新生適應(yīng)性研究中發(fā)現(xiàn)，新生的愉悅感會(huì)受到多種因素的影響，特別是新生們?cè)诖髮W(xué)的學(xué)習(xí)適應(yīng)狀態(tài)以及人際關(guān)系。新生的學(xué)習(xí)適應(yīng)狀態(tài)以及人際關(guān)系是否直接影響其愉悅感？為此，我們假設(shè)第i個(gè)新生的愉悅感的自評(píng)分?jǐn)?shù)用下面的線性公式來表示：

顯然該公式是線性回歸模型的推廣，自變量由一個(gè)變成兩個(gè)，因變量是愉悅感的自評(píng)分?jǐn)?shù)。這樣的回歸模型我們稱為多重線性回歸模型，“多重”是指自變量（或稱為預(yù)測變量）的個(gè)數(shù)超過一個(gè)，“線性”是指回歸模型是由自變量的線性組合表示，一般省略為多重回歸模型（multiple regression model）。

表3.1是在2012年某高校大學(xué)新生適應(yīng)性調(diào)查中隨機(jī)抽出的30名學(xué)生的測試分?jǐn)?shù)。

表3.1　大學(xué)新生適應(yīng)性測量結(jié)果（部分）

一般來說，如果有p（p≥2）個(gè)自變量X1，X2，……，Xp，對(duì)某個(gè)因變量Y進(jìn)行預(yù)測或者探索自變量是否為引起因變量變動(dòng)的原因時(shí)，可以利用上述回歸模型。表達(dá)式為：

式中，Yi與X1i，X2i，……，Xpi都是連續(xù)變量，下標(biāo)i是指第i個(gè)被試的觀測值（i=1，2，……，n）。β0為截距，β1，β2，……，βp稱為偏回歸系數(shù)（partial regression coefficient），εi為被試i的誤差分?jǐn)?shù)，這些參數(shù)都有待估計(jì)。

在公式（3.1）中將不含誤差項(xiàng)的部分稱為因變量Yi的預(yù)測方，

誤差就是因變量i與之間的差

在多重回歸模型中，誤差εi是指隨機(jī)誤差，并有如下假定：

（1）誤差εi可能大于0，也可能小于0，但它的期望值，即平均值為0；

（2）誤差εi的方差與因變量Yi的方差相等，且恒為定值σ2，記為

（3）誤差εi服從期望為0，方差為σ2的正態(tài)分布；

（4）全體誤差之間相互獨(dú)立，在回歸中殘差與各個(gè)X和Y＾的相關(guān)均為0。

為方便起見，我們省略被試i的標(biāo)記，如Yi為Y，為，εi為ε等。根據(jù)多重回歸模型對(duì)誤差的假設(shè)，我們還可導(dǎo)的四個(gè)性質(zhì)：

（1）的平均值等于因變量Y的平均值；

（2）與殘差e的相關(guān)系數(shù)為0；

（3）Y的方差等于的方差與殘差方差的和；

（4）與Y的相關(guān)系數(shù)稱為復(fù)相關(guān)系數(shù)，記為R（參見圖3.7的）。

觀察公式（3.2）（3.3）可知：如果求得β0，β1，β2，……，βp的估計(jì)值，就可以用來預(yù)測因變量Y；如果誤差很小，或者在可以接受的范圍內(nèi)，則可認(rèn)為自變量（不一定是全部）的預(yù)測效果比較好。

由此可見，應(yīng)用多重回歸分析可以達(dá)到兩個(gè)目標(biāo)：一是調(diào)查多個(gè)自變量是否為引起因變量變化的原因；二是探索這些自變量能否有效地預(yù)測因變量。還有人認(rèn)為可用來探索新的理論架構(gòu)。

為了實(shí)現(xiàn)上述目標(biāo)，3.2小節(jié)將著重介紹參數(shù)估計(jì)的原理；3.3小節(jié)介紹如何利用SPSS實(shí)現(xiàn)多重回歸分析以及評(píng)價(jià)結(jié)果的正確性與可靠性；3.4小節(jié)討論如何建立有效的多重回歸模型；3.5小節(jié)利用實(shí)際數(shù)據(jù)進(jìn)行多重回歸分析。