第一章 整除理論
整除理論是初等數論的基礎，它是對在小學就學過的關于整數的算術，主要是涉及除法運算的內容，作抽象的、系統的總結，在討論中不能涉及分數.這看起來似乎很簡單，但是它的內涵是十分重要而深刻的.本章的主要內容就是討論整除理論，它包括最大公約數理論和數學中最重要、最基本、最著名的定理之一——算術基本定理，即每個大于1的正整數必可唯一地表為若干個素數的乘積，前者在4討論，后者則在5討論.本章內容是這樣安排的：為了使討論自然和方便，在1中先概述了熟知的有關正整數和整數的基本知識——加法、減法及乘法運算的概念與性質；大小關系及其性質；特別是初步討論了自然數即正整數的最重要的兩個性質：自然數的歸納原理及由此推出的最小自然數原理，這是建立整除理論的基礎，特別是后者在本章及以后各章中經常要用到.在2中，討論了整數的整除的基本概念與最簡單的性質（這些性質實質上是不涉及整數的加法、減法運算的），進而引進了素數、合數、最大公約數及最小公倍數等概念，討論了有關的最簡單性質.在3中，我們討論建立整除理論的重要工具：帶余數除法（并介紹了它的若干應用）及輾轉相除法.在4中我們建立最大公約數理論，它是整除理論的核心內容，對此我們作了較全面的討論.在第一部分，利用帶余數除法建立了完整的最小公倍數與最大公約數理論，在這一部分中我們直接從定義出發，不需要利用最大公約數的明確表示式：一定存在整數x0，y0，使得
（a，b）=ax0+by0，
但在證明中要用到較高的技巧；第二部分是在首先證明上式的基礎上，利用它重新建立完整的最大公約數理論（這里不需要最小公倍數的概念與性質）.我們將對上式給出兩個不同的證明，一是利用輾轉相除法給出的構造性證明，而另一則是直接的非構造性證明.在5，首先利用4的結論證明了算術基本定理，并給出了它的重要應用.其次，我們給出了算術基本定理的不依賴于4的直接證明，并指出由此亦可建立最大公約數理論.在6對整除理論作一簡單總結.最后，在7中，引進一個在數學中十分有用的符號——實數x的最大整數部分［x］，并討論它的性質.利用它我們給出了n！的素數乘積的表達式，它是除算術基本定理之外，另一個刻畫自然數與素數之間關系的十分重要的關系式，我們將在第八章2給出它的應用.