習題一

1.求解以下方程：

（i）3x₁+5x₂=11；（ii）60x₁+123x₂=25；

（iii）903x₁+731x₂=1106；（iv）21x₁+35x₂=98；

（v）1402x₁-1969x₂=2.

2.求解以下方程：

（i）x₁-2x₂-3x₃=7；（ii）3x₁+6x₂-4x₃=7；

（iii）6x₁+10x₂-21x₃+14x₄=1.

3.求解不定方程組：

（i）x₁+2x₂+3x₃=7，2x₁-5x₂+29x₃=11；

（ii）3x₁+7x₂=2，2x₁-5x₂+10x₃=8；

（iii）x²₁+x²₂=x²₃，x₂=（x₁+x₃）/2；

（iv）x₁+x₂+x₃=94，x₁+8x₂+50x₃=87；

（v）x₁+x₂+x₃=99，x₁+6x₂+21x₃=100；

（vi）x₁+x₂+x₃+x₄=100；x₁+2x₂+3x₃+4x₄=300，

x₁+4x₂+9x₃+16x₄=1000.

4.設（a，b）=1，c為整數.證明：在平面直角坐標系中以ax+by=c為方程的直線上，任一長度≥（a²+b²）^1/2的線段上（包括端點）必有一點，其坐標為整數.

5.證明：a₁x₁+a₂x₂=c的通解為x₁=e+ft，x₂=g+ht，t=0，±1，±2，…（其中e，f，g，h為整數）的充分必要條件是x₁=e，x₂=g是解以及

f=a₂/（a₁，a₂），h=-a₁/（a₁，a₂）

或f=-a₂/（a₁，a₂），h=a₁/（a₁，a₂）.

6.設k＞h.我們把不定方程組a_1jx₁+…+a_kjx_k=c_j（1≤j≤h）寫為矩陣形式：

其中矩陣A=（a_ij）是h行k列.又設T是元素均為整數的k階矩陣，行列式等于±1，以及d₁，…，d_k是整數.再設

有解.

7.在1定理3的符號下，證明：

（i）1的不定方程（1）等價于不定方程組

a₁x₁+a₂x₂=g₂y₂，g₂y₂+a₃x₃+…+a_kx_k=c；

（ii）對任一取定的2≤h＜k，1的不定方程（1）也等價于不定方程組

a₁x₁+…+a_hx_h=g_hy_h，g_hy_h+a_h+1x_h+1+…+a_kx_k=c；

（iii）x₁，…，x_k是不定方程（1）的非負解（或正解）的充分必要條件是x₁，…，x_k，y_h是（ii）中的不定方程組的非負解（或正解）；

（iv）x₁，…，x_k是（1）的非負解（或正解）的充分必要條件是x₁，…，x_k，y₂，…，y_k-1是定理3中的不定方程組的非負解（或正解）；

（v）由（iv）提出一個求不定方程（1）的非負解（或正解）的方法，并用以求出1例5的不定方程的全部非負解.

8.求以下方程的全部非負解、全部正解：

（i）5x₁+7x₂=41；（ii）96x₁+97x₂=1000；

（iii）7x₁+3x₂=123；（iv）15x₁+12x₂+20x₃=59.

9.有大學生、中學生和小學生共20人去公園，大學生門票每人3元，中學生每人2元，小學生每人5角.已知門票錢共20元.問：大、中、小學生各有幾人？

10.有面值為1元、2元及5元的人民幣共50張，為使它們的總值是100元，這些面值的人民幣的張數可以如何選擇？

11.有甲、乙、丙三人共有100元錢.如果甲的錢變為原來的6倍，乙的錢變為原來的1/3，丙的錢不變，則三人仍然共有100元.丙的錢不多于30元.問：甲、乙、丙各有多少錢？

12.某人買了黑、白瓜子共12包，花了9元9角.每包白瓜子比黑瓜子貴3角，且白瓜子的包數比黑瓜子多.問：黑、白瓜子各買了幾包？

13.有甲、乙兩人分別拿了40個和30個雞蛋到集市上去出售.開始他們都以5角一個出售，在各自出售了一些后，降低價格，但仍都以同樣的價格（每個若干角）出售.到雞蛋全賣完時，他們發現所得的錢相同.問：他們最多能得多少錢？最少能得多少錢？

14.甲班有兒童7人，乙班有10人.現有100個蘋果分給甲、乙兩班.問甲、乙兩班要各分多少，才能使甲班的每個兒童分到的蘋果一樣多，乙班的每個兒童分到的蘋果也一樣多.

15.（i）將分數23/30表示為三個既約分數之和，它們的分母兩兩既約；

（ii）將23/30表示為兩個既約分數之和，它們的分母既約.

16.有五個水手和一只猴子在一個小島上，他們白天采集了一些椰子作為食物.晚上，一個水手醒了，決定拿出自己的一份椰子.他把椰子分為相等的五份后，還剩下一個，所以他把剩下的一個給了猴子，然后把自己的一份藏起來，就回去睡了.過了一會兒，第二個水手醒了，他和第一個一樣，也決定拿出自己的一份.當他把剩下的椰子分為相等的五份后，也還剩下一個，他把這一個也給了猴子，然后把自己的一份藏起來，也回去睡了.剩下的三個水手也依次做了同樣的事情.第二天早上，他們醒來后，都裝得什么事也沒有發生一樣，把剩下的椰子分為相等的五份，一人一份，這次一個也沒有剩下.問：原來這堆椰子最少有多少，他們每人總共拿到了多少椰子？

17.求以下不定方程組的全部正解：

（i）2x₁+x₂+x₃=100，3x₁+5x₂+15x₃=270；

（ii）x₁+x₂+x₃=31，x₁+2x₂+3x₃=41.

18.將定理4，定理5推廣到（a₁，a₂）=g＞1的情形.

19.詳細寫出：（i）由定理4成立推出定理5的證明；（ii）由定理5成立推出定理4的證明.

20.63x₁+110x₂=6893有無正解？

21.設a₁，a₂，c是正整數，（a₁，a₂）=1.對于方程a₁x₁+a₂x₂=c有以下結論：（i）c＜a₁+a₂時一定沒有正解；（ii）全體非負解和全體正解相同的充分必要條件是a₁｜/c且a₂｜/c；（iii）若a₁|c，a₁a₂｜/c，則正解的個數等于［c/（a₁a₂）］；（iv）若a₁a₂|c，則正解個數等于

-1+c/（a₁a₂）.

22.設a₁，a₂，a₃是兩兩既約的正整數.證明：不定方程a₂a₃x₁+a₃a₁x₂+a₁a₂x₃=c，當c＞2a₁a₂a₃-a₁a₂-a₂a₃-a₃a₁時一定有非負解；當c=2a₁a₂a₃-a₁a₂-a₂a₃-a₃a₁時無非負解.

23.設n是正整數.證明：不定方程x₁+2x₂+3x₃=n的非負解的個數等于有理函數（1-y）^-1（1-y²）^-1（1-y³）^-1的冪級數展開式中yⁿ的系數.你會求出這個系數嗎？如何把這方法推廣，去求不定方程a₁x₁+…+a_kx_k=n的非負解個數？這里a₁，…，a_k，n是正整數.如果要求正解的個數，以上的方法要作怎樣改變？

24.設1的不定方程（1）有解.證明：一定存在一組解x₁，x₂，…，x_k滿足

|x_j|≤|c|+（k-1）H，j=1，2，…，k，

其中H=max（|a₁|，…，|a_k|）.

可以做IMO的題（見附錄四）：［24.3］.