習題七

1.設a，b是整數，a≥1，b=qa+r，0≤r＜a.證明：

q=［b/a］，r=a｛b/a｝.

2.設a，b是整數，a≥1，b=q₁a+r₁，-a/2≤r₁＜a/2.證明：

3.證明：對任意正實數x，y有［xy］≥［x］［y］.試討論｛xy｝和｛x｝｛y｝之間會有怎樣的關系.

4.證明：對任意實數x有

［x］+［x+1/2］=［2x］.

5.證明：對任意整數n≥2及實數x有

［x］+［x+1/n］+…+［x+（n-1）/n］=［nx］.

6.設m，n是整數，n≥1.證明：

7.若［x+y］=［x］+［y］，［-x-y］=［-x］+［-y］同時成立，則x，y必有一個是整數.

8.證明：對任意實數x，y有

［x-y］≤［x］-［y］≤［x-y］+1.

9.證明：（i）對任意實數α，β有［2α］+［2β］≥［α］+［β］+［α+β］.但不一定有［3α］+［3β］≥［α］+［β］+［2α+2β］成立；

（ii）設m，n是正整數.對任意實數α，β有

［（m+n）α］+［（m+n）β］≥［mα］+［mβ］+［nα+nβ］

成立的充分必要條件是m=n.

10.試決定對怎樣的實數x有下面的等式成立：

（i）［x+3］=3+x；（ii）［x］+［x］=［2x］；

（iii）［11x］=11；（iv）［11x］=10；

（v）［x+1/2］+［x-1/2］=［2x］.

11.證明：對任意實數x，y有｛x+y｝≤｛x｝+｛y｝.

12.設‖x‖表示實數x離最近整數的距離.證明：

（i）‖x‖=min（｛x｝，1-｛x｝）；

（ii）對任意整數n有‖x+n‖=‖x‖；

（iii）‖x‖=‖-x‖；

（iv）‖x+y‖≤‖x‖+‖y‖；

（v）‖x-y‖≥‖x‖-‖y‖；

（vi）畫出y=‖x‖的圖形.

13.設m是正整數.證明：

15.設m，n是正整數，（m，n）=1.證明：

（i）在以坐標為｛0，0｝，｛0，m｝，｛n，0｝，｛n，m｝為頂點的矩形內部有（m-1）（n-1）個整點；

17.設實數C＞0.M是區域：x＞0，y＞0，xy≤C上的整點的個數.證明：

分別利用（i），（ii）給出計算M的近似公式.

18.設實數R＞0，M是區域x²+y²≤R²上的整點數.證明：

19.求2，3，6，12及70整除623！的最高方冪.

20.求120！的十進制表達式中結尾有多少個零.

21.7的式（7）當p是合數時成立嗎？舉例說明.

22.求32！的素因數分解式.

23.設p是素數，n是正整數.

（i）求p^e‖（2n）！！中的e的計算公式，這里

（2n）！！=（2n）（2n-2）…2；

（ii）求p^f‖（2n+1）！！中的f的計算公式，這里

（2n-1）！！=（2n-1）（2n-3）…1.

24.用例4的方法證明n！（n-1）！|（2n-2）！.

25.設a，b是正整數，（a，b）=1；再設ρ是一實數.證明：若aρ，bρ是整數，則ρ也是整數.

26.設a，b是正整數，（a，b）=1.證明：a！b！|（a+b-1）！.

27.設α（p，n）由7定理2給出，證明：α（p，n）＜n/（p-1）.

28.證明：（2n）！/（n！）²是偶數.

29.設m，n是正整數.證明：n！（m！）ⁿ|（mn）！.

30.設a，b是正整數.證明：a！b！（a+b）！|（2a）！（2b）！.

32.設p是一個給定的素數.證明：一定存在正整數a，使對任意的正整數n，不可能有p^a‖n！.試提出一個決定所有這種a的方法.

33.設正整數n的p進位表示是

n=a₀+a₁p+…+a_kp^k，

0≤a_j＜p，0≤j≤k-1，1≤a_k＜p.

證明：

（i）a_j=［n/p^j］-p［n/p^j+1］，0≤j≤k；

（ii）若p是素數，α（p，n）由7定理2給出，則

34.設n，a，b是正整數.證明：

n！|b^n-1a（a+b）…（a+（n-1）b）.

35.設α是正實數.再設

a_n=［n（1+α）］，n=1，2，…；b_n=［n（1+α^-1）］，n=1，2，….

證明：這些數兩兩不相等，且恰好給出了全體正整數的充分必要條件是α為正無理數.

36.設α，β是正實數.再設a_n=［nα］，n=1，2，…；b_n=［nβ］，n=1，2，….證明：這些數兩兩不相等，且恰好給出了全體正整數的充分必要條件是α，β為正無理數且滿足

可以做IMO的題（見附錄四）：［9.3］，［14.3］，［18.6］，［20.3］，［21.6］，［34.5］.