7　n！的素因數分解式

7.1　符號［x］

數論是研究整數的性質，我們經常會遇到與給定實數x有密切關系的整數，如不超過x的最大整數，大于x的最小整數等.為此Gauss引進了一個十分常用的符號［x］，它有時也稱為Gauss符號.

定義1（注：由習題一第5題知，這樣的定義是合理的，［x］是存在唯一的.）設x是實數，［x］表示不超過x的最大整數，稱為x的整數部分，即［x］是一個整數且滿足

［x］≤x＜［x］+1.（1）

有時也把符號［x］記為x.記｛x｝=x-［x］，稱為x的小數部分.

例如：［1.2］=1，［-1.2］=-2，［3］=3，［-4］=-4.由（1）知

0≤｛x｝＜1.（2）

x是整數的充分必要條件是｛x｝=0.例如：

｛1.2｝=0.2，｛-1.2｝=0.8，｛3｝=｛-4｝=0.

［x］和｛x｝是數學中十分有用的兩個符號.下面來列出它們的性質，證明很簡單，關鍵是要學會靈活運用這些性質.

定理1設x，y是實數.我們有

（i）若x≤y，則［x］≤［y］.

（ii）若x=m+v，m是整數，0≤v＜1，則m=［x］，v=｛x｝.特別地，當0≤x＜1時，［x］=0，｛x｝=x.

（iii）對任意整數m，有［x+m］=［x］+m，｛x+m｝=｛x｝.｛x｝是周期為1的周期函數.［x］和｛x｝的圖形分別見圖1和圖2.

圖1

圖2

（iv）［x］+［y］≤［x+y］≤［x］+［y］+1，其中等號有且僅有一個成立.

（vii）不小于x的最小整數（它記為［x］）是-［-x］.

（viii）小于x的最大整數是-［-x］-1.

（ix）大于x的最小整數是［x］+1.

（x）離x最近的整數是［x+1/2］和-［-x+1/2］.當x+1/2是整數時，這兩個不同的整數和x等距；當x+1/2不是整數時，它們相等.

（xi）若x≥0，則不超過x的正整數n的個數等于［x］，即

（xii）設a和N是正整數，那么正整數1，2，…，N中被a整除的正整數的個數是［N/a］.

證（i）由［x］≤x≤y＜［y］+1即得.

（ii）由m≤x＜m+1及定義推出.這一性質是在證明有關［x］的性質時常用的技巧.

（iii）由［x］+m≤x+m＜（［x］+m）+1及定義推出.

（iv）x+y=［x］+［y］+｛x｝+｛y｝及0≤｛x｝+｛y｝＜2.當0≤｛x｝+｛y｝＜1時，由（ii）知［x+y］=［x］+［y］；當1≤｛x｝+｛y｝＜2時，

x+y=［x］+［y］+1+（｛x｝+｛y｝-1），

由（ii）知

［x+y］=［x］+［y］+1.

（v）x為整數時顯然成立.x不是整數時，-x=-［x］-｛x｝=-［x］-1+1-｛x｝，0＜1-｛x｝＜1，由（ii）知結論成立.

（vi）由帶余數除法知，存在整數q，r，使得

［x］=qm+r，0≤r＜m，

即［x］/m=q+r/m，0≤r/m＜1.

由此及（ii）推出［［x］/m］=q.另一方面

x/m=［x］/m+｛x｝/m=q+（｛x｝+r）/m.

注意到0≤（｛x｝+r）/m＜1，由此及（ii）推出［x/m］=q.所以（vi）成立.

（vii）設不小于x的最小整數是a，即a-1＜x≤a.因此-a≤-x＜-a+1，所以-a=［-x］，即a=-［-x］.

（viii）和（ix）的證明留給讀者，方法與（vii）相同

（x）離x最近的整數必在［x］和［x］+1之中.當x+1/2是整數時，這兩數和x等距.容易驗證［x］+1=［x+1/2］及［x］=［x-1/2］=-［-x+1/2］.當x+1/2不是整數時，若｛x｝＜1/2，則離x最近的整數是［x］.因x+1/2=［x］+｛x｝+1/2，0≤｛x｝+1/2＜1，由（ii）知［x］=［x+1/2］；若1/2＜｛x｝＜1，則離x最近整數是［x］+1.因x+1/2=［x］+1+｛x｝-1/2，0＜｛x｝-1/2＜1，由（ii）知［x］+1=［x+1/2］.在x+1/2不是整數時，由（v）知

［x+1/2］=-［-x-1/2］-1=-［-x+1/2-1］-1=-［-x+1/2］，

最后一步用到了（iii）.證畢.

（xi）由于整數n≤x就是n≤［x］，所以成立.

（xii）被a整除的正整數是a，2a，3a，….設1，2，…，N中被a整除的正整數個數為k，那么必有ka≤N＜（k+1）a，即k≤N/a＜k+1，所以成立.

符號［x］是很有用的，下面來舉一個例子.

例1平面上坐標為整數的點稱為整點或格點.設x₁＜x₂是實數，y=f（x）（x₁＜x≤x₂）是非負連續函數.證明：

證先來證明（i）.所說區域上的整點，都在這樣的直線段上：x=n，1≤y≤f（n），n是一滿足x₁＜n≤x₂的整數.而直線段x=n，1≤y≤f（n）上的整點數就是滿足1≤y≤f（n）的整數y的個數，由定理1（xi）知等于［f（n）］（見圖3）.這就證明了（i）.由小數部分的定義知

由以上三式就證明了（ii）.當f（x）取不同的函數時，會由此得一些有趣的結果，這將放在習題中.

圖3