1　自然數與整數

1.1　基本性質我們先來回顧自然數與整數的基本知識.

自然數，也叫做正整數，就是大家所熟悉的

1，2，3，…，n，n+1，….（1）

我們以N表由全體自然數（1）所組成的集合.整數就是指正整數、負整數及零，即

…，-n-1，-n，…，-3，-2，-1，0，1，2，3，…，n，n+1，….（2）

我們以Z表由全體整數（2）組成的集合.我們熟知的基本知識是：

（Ⅰ）正整數集合中的加法運算“+”：對任意的a，b∈N，必有x∈N，使得x=a+b，x稱為a與b的“和”，它滿足以下性質：

（i）結合律（a+b）+c=a+（b+c），a，b，c∈N.

（ii）交換律a+b=b+a，a，b∈N.

（iii）相消律a+b=a+c?b=c，a，b，c∈N.

但是，在N中對任意的a，b∈N，不一定有x∈N，使得a=b+x，即在N中不一定能作加法運算的逆運算——減法運算“-”.而在Z中，除了可作加法運算并滿足以上性質外，還一定可作減法運算，即滿足

（iv）a+0=a，a∈Z.

（v）對任意的a，b∈Z，必有x∈Z，使得

a=b+x.

記做x=a-b，稱x是a與b的“差”.這就是減法運算a-b的定義.

（Ⅱ）在整數集合中可以作乘法運算“·”，但不一定可作乘法的逆運算——除法運算.乘法運算滿足以下性質：

（i）結合律（a·b）·c=a·（b·c），a，b，c∈Z；

（ii）交換律a·b=b·a，a，b∈Z；

（iii）相消律若a≠0，a·b=a·c，則b=c，a，b，c∈Z；

（iv）0·a=0，a∈Z；

（v）1·a=a，a∈Z；

（vi）加法與乘法的分配律

（a+b）·c=（a·c）+（b·c），a，b，c∈Z.

為簡單起見，乘法a·b就記做ab.

（Ⅲ）在整數中有大小（即順序）關系，并用符號：≤，＜，≥及＞等來表示（注：b≥a即a≤b；a＜b表示a≤b且a≠b；b＞a即a＜b.）.整數的大小（即順序）有以下性質：

（i）對任意的a，b∈Z，關系a=b，a＜b，b＜a有且僅有一個成立；

（ii）自反性a≤a，a∈Z；

（iii）反對稱性對任意的a，b∈Z，若a≤b且b≤a，則a=b；

（iv）傳遞性對任意的a，b，c∈Z，若a≤b且b≤c，則a≤c，且等號僅當a=b，b=c均成立時才成立；

（v）對任意的a，b，c∈Z，a+c≤b+c?a≤b；

（vi）對任意的a，b，c∈N，若c=ab，則a≤c，等號當且僅當b=1時成立；

（vii）對任意的a，b∈Z及c∈N，ac≤bc?a≤b；

（viii）對任意的a，b∈Z，a≤b?-a≥-b；

（Ⅳ）在整數中還引入了絕對值的概念：

它顯然具有性質：

（i）|ab|=|a||b|，a，b∈Z；

（ii）|a+b|≤|a|+|b|，a，b∈Z.