2.3.3 相關(guān)系數(shù)與協(xié)方差

1.協(xié)方差

協(xié)方差（Covariance）在概率論和統(tǒng)計(jì)學(xué)中用于衡量?jī)蓚€(gè)變量的總體誤差。方差是協(xié)方差的一種特殊情況，當(dāng)兩個(gè)變量相同時(shí)則為方差。

協(xié)方差表示的是兩個(gè)變量的總體的誤差，這與只表示一個(gè)變量誤差的方差不同。如果兩個(gè)變量的變化趨勢(shì)一致，也就是說(shuō)如果其中一個(gè)大于自身的期望值，另外一個(gè)也大于自身的期望值，那么兩個(gè)變量之間的協(xié)方差就是正值。如果兩個(gè)變量的變化趨勢(shì)相反，即其中一個(gè)大于自身的期望值，另外一個(gè)卻小于自身的期望值，那么兩個(gè)變量之間的協(xié)方差就是負(fù)值。公式為：

Cov(X,Y)=E[(X-E[X])Y-E[Y]]

其中：E(X)為變量X的期望，E(Y)為變量Y的期望。

協(xié)方差Cov(X,Y)是描述隨機(jī)變量相互關(guān)聯(lián)程度的一個(gè)特征數(shù)。協(xié)方差具有以下特性：

● Cov(X,Y)＞0時(shí)，稱(chēng)X與Y正相關(guān)；

● Cov(X,Y)＜0時(shí)，稱(chēng)X與Y負(fù)相關(guān)；

● Cov(X,Y)=0時(shí)，稱(chēng)X與Y不相關(guān)。

（1）案例分析

以一組學(xué)生玩游戲時(shí)間與成績(jī)的數(shù)據(jù)為例，計(jì)算兩個(gè)不同變量之間的協(xié)方差，數(shù)據(jù)如表2-23所示。

（2）操作步驟

1）單擊“數(shù)據(jù)|分析|數(shù)據(jù)分析”命令，在“數(shù)據(jù)分析”對(duì)話(huà)框中選擇“協(xié)方差”選項(xiàng)，然后單擊“確定”按鈕。

2）在“協(xié)方差”對(duì)話(huà)框進(jìn)行參數(shù)設(shè)置，“輸入?yún)^(qū)域”選擇$A$1:$B$11（包含標(biāo)題），“分組方式”默認(rèn)“逐列”選項(xiàng)，勾選“標(biāo)志位于第一行”選項(xiàng)，“輸出區(qū)域”選擇單元格$D$2，然后單擊“確定”按鈕，如圖2-143所示。

3）學(xué)生玩游戲時(shí)間與成績(jī)的協(xié)方差統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖2-144所示。兩者之間的協(xié)方差結(jié)果為-385.5。由此可見(jiàn)，學(xué)生玩游戲時(shí)間與成績(jī)是呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)的，玩游戲時(shí)間較長(zhǎng)，學(xué)生成績(jī)相對(duì)較差。

但協(xié)方差僅能進(jìn)行定性的分析，并不能進(jìn)行定量的分析。例如，學(xué)生玩游戲時(shí)間和成績(jī)的協(xié)方差為-385.5，但兩者之間的相關(guān)性的強(qiáng)度是多少，協(xié)方差并沒(méi)有給出定量的判斷標(biāo)準(zhǔn)，因此需要計(jì)算兩者之間的相關(guān)系數(shù)來(lái)判斷。

2.相關(guān)系數(shù)

相關(guān)系數(shù)又稱(chēng)線(xiàn)性相關(guān)系數(shù)、皮氏積矩相關(guān)系數(shù)等，是衡量?jī)蓚€(gè)隨機(jī)變量之間線(xiàn)性相關(guān)程度的指標(biāo)。相關(guān)系數(shù)最早是由統(tǒng)計(jì)學(xué)家卡爾·皮爾遜設(shè)計(jì)的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)，是研究變量之間線(xiàn)性相關(guān)程度的量，一般用字母r表示。根據(jù)研究對(duì)象的不同，相關(guān)系數(shù)有多種定義方式，較為常用的是皮爾遜相關(guān)系數(shù)。反映兩變量間線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)稱(chēng)為相關(guān)系數(shù)（相關(guān)系數(shù)的平方稱(chēng)為判定系數(shù)）；反映兩變量間曲線(xiàn)相關(guān)關(guān)系的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)稱(chēng)為非線(xiàn)性相關(guān)系數(shù)、非線(xiàn)性判定系數(shù)；反映多元線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)稱(chēng)為復(fù)相關(guān)系數(shù)、復(fù)判定系數(shù)等。需要說(shuō)明的是，皮爾遜相關(guān)系數(shù)并不是唯一的相關(guān)系數(shù)，但它是最常見(jiàn)的相關(guān)系數(shù)，下面主要探討簡(jiǎn)單相關(guān)系數(shù)。

皮爾遜相關(guān)系數(shù)的公式為：

其中，Cov(X,Y)為X與Y的協(xié)方差，Var(X)為X的方差，Var(Y)為Y的方差。

（1）案例分析

以一組學(xué)生玩游戲時(shí)間與成績(jī)的數(shù)據(jù)為例，數(shù)據(jù)如表2-23所示，計(jì)算兩個(gè)不同變量之間的相關(guān)系數(shù)。

（2）操作步驟

1）單擊“數(shù)據(jù)|分析|數(shù)據(jù)分析”命令，在“數(shù)據(jù)分析”對(duì)話(huà)框中選擇“相關(guān)系數(shù)”選項(xiàng)，然后單擊“確定”按鈕。

2）在“相關(guān)系數(shù)”對(duì)話(huà)框進(jìn)行參數(shù)設(shè)置，“輸入?yún)^(qū)域”選擇$A$1:$B$11（包含標(biāo)題），“分組方式”默認(rèn)為“逐列”選項(xiàng)，勾選“標(biāo)志位于第一行”選項(xiàng)，“輸出區(qū)域”選擇單元格$D$2，然后單擊“確定”按鈕，如圖2-145所示。

3）學(xué)生玩游戲時(shí)間與成績(jī)的相關(guān)系數(shù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖2-146所示。兩者之間的相關(guān)系數(shù)為-0.89。由此可見(jiàn)，學(xué)生玩游戲時(shí)間與成績(jī)是呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)的，且兩者線(xiàn)性相關(guān)性較強(qiáng)。