1.3.3　常用數(shù)制及其轉(zhuǎn)換

在計算機中數(shù)據(jù)是以二進制來表示的，但在現(xiàn)實生活中多以十進制數(shù)來進行計算，而在使用計算機程序設(shè)計語言對計算機進行操作時，還經(jīng)常會用到八進制、十六進制。因此需要了解不同進制之間的關(guān)系。

1．數(shù)制

數(shù)制，也稱計數(shù)制，是用一組固定數(shù)字和一些統(tǒng)一規(guī)則來表示數(shù)據(jù)的方法，一般可分為非進位計數(shù)制和進位計數(shù)制。

（1）非進位計數(shù)制

非進位計數(shù)制是指表示數(shù)值大小的數(shù)碼與它在數(shù)中所處的位置無關(guān)。例如在羅馬數(shù)字中，Ⅰ表示1，Ⅱ表示2，Ⅴ表示5，Ⅵ表示6。若按進位計數(shù)制的規(guī)則，Ⅱ應(yīng)該表示11，Ⅵ應(yīng)該表示51。

（2）進位計數(shù)制

進位計數(shù)制是指按指定進位方式計數(shù)的數(shù)制，即表示數(shù)值大小的數(shù)碼與它在數(shù)中所處的位置有關(guān)。常見的有二進制、八進制、十進制和十六進制。

進位計數(shù)制包含三個要素。

?數(shù)碼：一組用來表示某種數(shù)制的符號。例如，十進制的數(shù)碼是0、1、2、3、4、5、6、7、8、9；二進制的數(shù)碼是0、1。

?基數(shù)：某數(shù)制可以使用的數(shù)碼個數(shù)。例如，十進制的基數(shù)是10；二進制的基數(shù)是2。

?位權(quán)：表示數(shù)碼在不同位置代表的值的大小。例如，在十進制中個位的權(quán)值是1，十位的權(quán)值是10。

二進制的基數(shù)是2，使用兩個數(shù)碼：0、1，逢二進一。

八進制的基數(shù)是8，使用八個數(shù)碼：0、1、2、3、4、5、6、7，逢八進一。

十進制的基數(shù)是10，使用十個數(shù)碼：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，逢十進一。

十六進制的基數(shù)是16，使用十六個數(shù)碼：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E、F，逢十六進一。

為了區(qū)分不同進制的數(shù)，可以用數(shù)字下標標注，也可以加后綴表示，B表示二進制，O表示八進制，D表示十進制，H表示十六進制。例如：（1011）2、1011D分別表示二進制數(shù)和十進制數(shù)。

任何一種進位計數(shù)制的數(shù)都可以表示成按位權(quán)表示的多項式，例如：

（1011.11）2=1×23+0×22+1×21+1×20+1×2-1+1×2-2

（456.14）8=4×82+5×81+6×80+1×8-1+4×8-2

2．數(shù)制間的轉(zhuǎn)換

（1）二進制轉(zhuǎn)十進制

將二進制數(shù)按位權(quán)形式展開，然后按十進制的運算法則求和便可得到對應(yīng)的十進制數(shù)。例如：

（1011.11）2=1×23+0×22+1×21+1×20+1×2-1+1×2-2=（11.75）10

（2）十進制轉(zhuǎn)二進制

將十進制的整數(shù)部分和小數(shù)部分分別轉(zhuǎn)換，然后將結(jié)果相加。

①整數(shù)部分的轉(zhuǎn)換規(guī)則是“除二取余”。例如，將25D轉(zhuǎn)換為二進制的過程如圖1-5所示。將25除以2，記下余數(shù)，所得的商繼續(xù)除以2，直到商為零為止。注意最先除得的余數(shù)是低位。將所得余數(shù)序列按由高位到低位的順序排列便可得到對應(yīng)的二進制數(shù)。

即25D=11001B

②小數(shù)部分的轉(zhuǎn)換規(guī)則是“乘二取整”。例如，將0.3125D轉(zhuǎn)換為二進制的過程如圖1-6所示。將0.3125乘以2，記下整數(shù)，余數(shù)部分繼續(xù)乘以2，直到所要求的精度為止。將得到的整數(shù)序列由高位到低位排列便得到對應(yīng)的小數(shù)部分。

即0.3125D=0.0101B

（3）二進制數(shù)和八進制數(shù)之間的轉(zhuǎn)換

三位二進制數(shù)對應(yīng)一位八進制數(shù)。二進制數(shù)轉(zhuǎn)八進制數(shù)時，將二進制數(shù)每三位分一組，整數(shù)部分從右向左分，最后一組不足三位時左邊補零；小數(shù)部分從左向右分，最后一組不足三位時右邊補零。將每組對應(yīng)的八進制數(shù)寫出來即可。例如：

10101110.0111→010.101.110.011.100→256.34

即（10101110.0111）2=（256.34）8

八進制數(shù)轉(zhuǎn)二進制數(shù)時，將每位八進制數(shù)對應(yīng)的三位二進制數(shù)寫出來即可。例如：

125.1→001.010.101.001→1010101.001

即（125.1）8=（1010101.001）2

在八進制數(shù)轉(zhuǎn)換為二進制數(shù)時注意一定要寫夠三位，比如上例中的2要轉(zhuǎn)換為010而不是10，小數(shù)部分的1要轉(zhuǎn)換為001而不是100。

（4）二進制數(shù)和十六進制數(shù)之間的轉(zhuǎn)換

四位二進制數(shù)對應(yīng)一位十六進制數(shù)。二進制數(shù)轉(zhuǎn)十六進制數(shù)時，將二進制數(shù)每四位分一組，整數(shù)部分從右向左分，最后一組不足四位時左邊補零；小數(shù)部分從左向右分，最后一組不足四位時右邊補零。將每組對應(yīng)的十六進制數(shù)寫出來即可。例如：

10101110.0111→10101110.0111→AE.7

即（10101110.0111）2=（AE.7）16

十六進制數(shù)轉(zhuǎn)二進制數(shù)時，將每位十六進制數(shù)對應(yīng)的四位二進制數(shù)寫出來即可。例如：

92F.C→1001.0010.1111.1100→100100101111.11

即（92F.C）16=（100100101111.11）2

常用的各進制數(shù)間的對照表如表1-1所示。

（5）其他進制之間的轉(zhuǎn)換

十進制轉(zhuǎn)八進制、十六進制可以用“除八取余”“除十六取余”的方法，也可以先轉(zhuǎn)換為二進制，再轉(zhuǎn)換為八進制、十六進制。其他進制轉(zhuǎn)十進制可以用按權(quán)值展開的辦法。

小游戲——猜姓

有五張寫有姓氏的卡片如圖1-7所示，你的姓在哪幾張上有，我便知道你姓什么。

下面我們看看其中有什么奧秘。首先把它抽象成數(shù)字，如圖1-8所示，然后觀察這些數(shù)字的排放有什么規(guī)律。

實際上這些數(shù)字的安排是由對應(yīng)的二進制數(shù)得到的。例如，1對應(yīng)的二進制數(shù)為1，所以只有第1張上有；2對應(yīng)的二進制數(shù)為10，所以只有第2張上有（低位對應(yīng)左面的卡片，高位對應(yīng)右面的卡片）；3對應(yīng)的二進制數(shù)為11，所以在第1張、第2張上有。又比如12對應(yīng)的二進制數(shù)為1100，所以12只出現(xiàn)在第3張、第4張上；31對應(yīng)的二進制數(shù)為11111，所以每張卡片上都有。

這是卡片的制作原理。在玩的過程中就不必做進制轉(zhuǎn)換了，只要記住每張卡片左上角的數(shù)字即可。比如對方說第1、3、5張上有，你便快速地將第1、3、5張左上角的1、4、16三個數(shù)相加，告訴對方所猜的數(shù)是21。如果熟練了，閉上眼睛都能說出來。若要猜姓氏，需要更多的練習。