4.2　基于微分的邊緣檢測(cè)

由于邊緣為灰度值急劇變化的部分，很明顯微分作為提取函數(shù)變化部分的運(yùn)算能夠在邊緣檢測(cè)與提取中利用。微分運(yùn)算中有一階微分（first differential calculus，也稱梯度運(yùn)算gradient）與二階微分（second differential calculus，也稱拉普拉斯運(yùn)算Laplacian），都可以應(yīng)用在邊緣檢測(cè)與提取中。

（1）一階微分（梯度運(yùn)算）

作為坐標(biāo)點(diǎn)（x，y）處的灰度傾斜度的一階微分值，可以用具有大小和方向的向量G（x，y）=（fx，fy）來(lái)表示。其中fx為x方向的微分，fy為y方向的微分。

fx、fy在數(shù)字圖像中是用下式計(jì)算的：

　　　　 （4.1）

微分值fx、fy被求出后，由以下的公式就能算出邊緣的強(qiáng)度與方向。

【強(qiáng)度】：

　　 （4.2） 　　

【方向】：

　　 （4.3） 　　

邊緣的方向是指其灰度變化由暗朝向亮的方向。可以說(shuō)梯度算子更適于邊緣（階梯狀灰度變化）的檢測(cè)。

（2）二階微分（拉普拉斯運(yùn)算）

二階微分L（x，y）是對(duì)梯度再進(jìn)行一次微分，只用于檢測(cè)邊緣的強(qiáng)度（不求方向），在數(shù)字圖像中用下式表示：

　　 （4.4） 　　

因?yàn)樵跀?shù)字圖像中的數(shù)據(jù)是以一定間隔排列著，不可能進(jìn)行真正意義上的微分運(yùn)算。因此，如式（4.1）或式（4.4）那樣用相鄰像素間的差值運(yùn)算實(shí)際上是差分（calculus of finite differences），為方便起見(jiàn)稱為微分（differential calculus）。用于進(jìn)行像素間微分運(yùn)算的系數(shù)組被稱為微分算子（differential operator）。梯度運(yùn)算中的fx、fy的計(jì)算式（4.1），以及拉普拉斯運(yùn)算的式（4.4），都是基于這些微分算子而進(jìn)行的微分運(yùn)算。這些微分算子如表4.1、表4.2所示的那樣，有多個(gè)種類。實(shí)際的微分運(yùn)算就是計(jì)算目標(biāo)像素及其周圍像素分別乘上微分算子對(duì)應(yīng)數(shù)值矩陣系數(shù)的和，其計(jì)算結(jié)果被用作微分運(yùn)算后目標(biāo)像素的灰度值。掃描整幅圖像，對(duì)每個(gè)像素都進(jìn)行這樣的微分運(yùn)算，稱為卷積（convolution）。