1.2　實(shí)驗(yàn)誤差及數(shù)據(jù)處理

1.2.1　誤差的概念與種類

（1）誤差的概念

測量的目的是為了得到被測值物理量的客觀真實(shí)數(shù)（簡稱真值）。但由于受測量方法、測量儀器、測量條件以及試驗(yàn)者水平等多種因素的限制，只能獲得該物理量的近似值，也就是說，一個(gè)被測量的測量值N與真值N0之間一般都會(huì)存在一個(gè)差值。這種差值稱為測量誤差，又稱絕對(duì)誤差，用δ表示。

δ=N-N0 　　（1-1）

絕對(duì)誤差不同于誤差的絕對(duì)值，它可正、可負(fù)。當(dāng)δ為正時(shí)，稱為正誤差，反之則為負(fù)誤差。因此，公式（1-1）定義的誤差，不僅反映了測量值偏離真值的大小，也反映了偏離的方向。絕對(duì)誤差與真值之比稱為相對(duì)誤差，相對(duì)誤差一般用百分?jǐn)?shù)表示。

　　（1-2）

顯然，相對(duì)誤差是沒有單位的，而絕對(duì)誤差與測量值有相同的單位。被測量的真值N0是一個(gè)理想的值，一般來說是無法知道的，因此，一般也不能準(zhǔn)確得到。對(duì)可以多次測量的物理量，常用已修正過的算術(shù)平均值來代替被測量的真值。

（2）誤差的種類

為了便于對(duì)誤差作出估算并研究減小誤差的方法，有必要對(duì)誤差進(jìn)行分類。根據(jù)誤差的性質(zhì)，測量誤差分為系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差。

①系統(tǒng)誤差　在相同條件下對(duì)同一物理量進(jìn)行多次測量，誤差的大小和符號(hào)始終保持恒定或按可預(yù)知的方式變化，這種誤差稱為系統(tǒng)誤差。

②隨機(jī)誤差　在相同條件下對(duì)同一物理量進(jìn)行多次測量，誤差或大或小，或正或負(fù)，完全是隨機(jī)的、不可預(yù)知的，這種誤差稱為隨機(jī)誤差。

1.2.2　系統(tǒng)誤差

（1）系統(tǒng)誤差的來源

①理論或方法的原因　系統(tǒng)誤差指由試驗(yàn)方法本身的原因所造成的誤差。例如測水泥的細(xì)度有三種方法（干篩法、水篩法、負(fù)壓篩法）因試驗(yàn)方法不同，試驗(yàn)結(jié)果也不同。

②儀器原因　由于儀器本身的局限和缺陷而引起的誤差或沒有按規(guī)定條件使用儀器而引起的誤差。如儀表失修，直尺的刻度不均勻，天平刀口磨損，天平的兩臂長度不等或儀器零點(diǎn)沒調(diào)好，儀器未按規(guī)定放水平等。應(yīng)注意的是，建筑材料試驗(yàn)中的重要儀器必須定期進(jìn)行校正和鑒定。

③環(huán)境原因　是指外界環(huán)境發(fā)生變化引起的誤差，如溫度、濕度等因素引起的誤差。例如同樣的混凝土配合比，在夏天測得的坍落度與冬天測得的坍落度便不一樣。

④個(gè)人原因　是指試驗(yàn)操作人員本身的生理或心理特點(diǎn)而造成的誤差。如有人習(xí)慣早按秒表，有人習(xí)慣晚按秒表；又如有人習(xí)慣偏向左邊觀測儀表刻度，有人習(xí)慣偏向右邊觀測儀表刻度等。

（2）發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差的方法

要發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差，就要對(duì)實(shí)驗(yàn)依據(jù)的原理、實(shí)驗(yàn)方法、實(shí)驗(yàn)步驟、所用儀器等可能引起誤差的因素逐一進(jìn)行分析。因此，它要求試驗(yàn)者既要有堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)，又要有豐富的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，下面簡要介紹幾種發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差的方法。

①對(duì)比的方法

a.試驗(yàn)方法的對(duì)比：用不同的試驗(yàn)方法測同一個(gè)量，看結(jié)果是否一致。

b.儀器的對(duì)比：用不同的儀器測同一個(gè)量，看結(jié)果是否一致。

c.改變測量方法：如用天平稱物體的質(zhì)量時(shí)，分別將物體放在天平的左盤和右盤，對(duì)比測量結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)天平是否存在兩臂長度不等而帶來的誤差。

d.改變觀察者：兩個(gè)人對(duì)比觀察可以發(fā)現(xiàn)個(gè)人誤差。

②數(shù)據(jù)分析的方法　當(dāng)測量數(shù)據(jù)明顯不服從統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律時(shí)，說明存在系統(tǒng)誤差。即將測量數(shù)據(jù)依次排列，如偏差的大小有規(guī)律地向一個(gè)方向變化，則測量中存在線性系統(tǒng)誤差；如偏差的符號(hào)有規(guī)律地交替變化，則測量中存在周期性系統(tǒng)誤差。

（3）系統(tǒng)誤差的消除與修正

必須指出，任何“標(biāo)準(zhǔn)”儀器都不能盡善盡美，任何理論都只是實(shí)際情況的近似。因此，在實(shí)際測量中，要完全消除系統(tǒng)誤差是不可能的。這里所說的“消除系統(tǒng)誤差”，是將它的影響減小到隨機(jī)誤差以下。

①消除儀器的零點(diǎn)誤差　對(duì)游標(biāo)卡尺、千分尺以及指針式儀表等，在使用前，應(yīng)先記錄零點(diǎn)誤差（如果不能對(duì)零的話），以便對(duì)測量結(jié)果進(jìn)行修正。

②校準(zhǔn)儀器　用更準(zhǔn)確的儀器校準(zhǔn)一般儀器，得到修正值或校準(zhǔn)曲線。

③保證儀器的安裝滿足規(guī)定的要求。

④按操作規(guī)程進(jìn)行試驗(yàn)。

1.2.3　隨機(jī)誤差

隨機(jī)誤差是不可避免的，也不能消除，但可以根據(jù)隨機(jī)誤差理論估計(jì)出它的大小，并可通過增加測量次數(shù)減小隨機(jī)誤差。

（1）測量值的隨機(jī)分布

①直方圖　如果各測量值為連續(xù)隨機(jī)變量，它們相互獨(dú)立，則它們有其特有的概率分布。為了弄清它的概率分布規(guī)律，先從直方圖入手。

例如一批高強(qiáng)混凝土立方體試件抗壓強(qiáng)度測量值見表1-1。

a.找出最大值和最小值，求出極差。

本例中最大值和最小值分別為61.83和59.88，則極差R為：

R=max{xi}-min{xi}　　（1-3）

本次樣本中R=max{xi}-min{xi}=61.83-59.88=1.95

b.根據(jù)樣本大小分組。

通常大樣本（n＞50）分為10～20組，小樣本（n≤50）分為5～6組，組距Dx為：

　　（1-4）

式中　R——樣本極差；

k——樣本組數(shù)。

本例樣本較大，可分為10組，分組情況見表1-2。根據(jù)組數(shù)k=10及極差R=1.95可得組距Dx=R/k=1.95/10≈0.20。

c.確定分點(diǎn)，數(shù)出各組的頻數(shù)ni。

d.計(jì)算各組的頻率ni/n。

e.計(jì)算各組的相對(duì)頻率ni/（n·Dx）。

f.以分點(diǎn)為橫坐標(biāo)，相對(duì)頻率為縱坐標(biāo)，畫出直方圖，如圖1-1所示。

直方圖由一系列以組距為底、相對(duì)頻率為高的矩形繪制而成，它們參差有序。所有矩形面積之和等于1，如式（1-5）。

　　（1-5）

直方圖在橫坐標(biāo)上的跨越范圍就是測量值的范圍，這個(gè)范圍很大，說明測量值是分散的；另外，直方圖中間高、兩邊低，說明趨于樣本平均值的測量值出現(xiàn)的頻率大，較大或較小的測量值出現(xiàn)的頻率小。

②正態(tài)分布　上述的抗壓強(qiáng)度測量值，其概率密度函數(shù)符合正態(tài)函數(shù)分布。不僅混凝土抗壓強(qiáng)度測量值如此，而且炮彈落點(diǎn)、產(chǎn)品質(zhì)量、人的身高、體重等都符合正態(tài)分布。正態(tài)分布密度函數(shù)又稱高斯分布。

　　（1-6）

式中　x——測量值；

μ——總體平均值；

σ——總體標(biāo)準(zhǔn)偏差。

總體標(biāo)準(zhǔn)偏差公式如下：

　　（1-7）

樣本的標(biāo)準(zhǔn)偏差公式如下：

　　（1-8）

S為有限多次測量值的標(biāo)準(zhǔn)偏差，即樣本的標(biāo)準(zhǔn)偏差，σ為無限多次測量值的標(biāo)準(zhǔn)偏差，即總體的標(biāo)準(zhǔn)偏差。通常用樣本的標(biāo)準(zhǔn)偏差S來代替總體標(biāo)準(zhǔn)偏差σ。

正態(tài)分布曲線以直線x=μ為對(duì)稱軸，如圖1-2所示。當(dāng)x=μ時(shí)，f（x）值最大，說明測量值落在μ的鄰域內(nèi)的概率最大；測量值落在區(qū)間μ±σ內(nèi)的概率為68.3%；測量值落在區(qū)間μ±2σ內(nèi)的概率為95.5%；測量值落在區(qū)間μ±3σ內(nèi)σ的概率為99.7%。

（2）異常數(shù)據(jù)的舍棄準(zhǔn)則

在對(duì)建筑材料試驗(yàn)的數(shù)據(jù)中，有時(shí)有少數(shù)的測量數(shù)據(jù)與其他的測量數(shù)據(jù)相差很大。這些相差很大的數(shù)據(jù)，如果是操作過失引起的，就應(yīng)該舍棄。那么舍棄異常數(shù)據(jù)的準(zhǔn)則是什么呢？下面介紹兩個(gè)判別異常數(shù)據(jù)的準(zhǔn)則。

①拉依達(dá)準(zhǔn)則　凡是偏差（殘差）大于3σ的數(shù)據(jù)應(yīng)作為異常數(shù)據(jù)予以舍棄。對(duì)于服從正態(tài)分布的隨機(jī)誤差來說，誤差在±3σ區(qū)間以外的數(shù)據(jù)，其概率僅為0.3%，也就是說，在1000次測量中，超過3σ的可能性只有3次。而建筑材料試驗(yàn)通常只進(jìn)行數(shù)次或幾十次，所以這種可能性基本為零。這里強(qiáng)調(diào)指出，該準(zhǔn)則只有在n大于13才有效。

②肖維涅準(zhǔn)則　設(shè)重復(fù)測量的次數(shù)為n，在一組測量數(shù)據(jù)中，凡是未在區(qū)間N±CnS內(nèi)的測量值可以認(rèn)為是異常數(shù)據(jù)。其中N為平均值，Cn為該準(zhǔn)則的因數(shù)，S為標(biāo)準(zhǔn)偏差，其值見表1-3。

1.2.4　有效數(shù)字及運(yùn)算規(guī)則

（1）有效數(shù)字

建筑材料試驗(yàn)中的測量值都是由數(shù)字表示的，例如：

水泥試樣的質(zhì)量m=38.00g；

混凝土立方體邊長a=153.0mm，b=150.2mm，c=147.8mm；

實(shí)驗(yàn)室的溫度T=22.0℃。

這些數(shù)字不僅說明測量值數(shù)量的大小，同時(shí)也反映了測量的精確度，水泥試樣的質(zhì)量m精確到0.01g；混凝土立方體邊長a、b、c精確到0.1mm；實(shí)驗(yàn)室的溫度精確到0.1℃。

與測量的精確度相符的數(shù)字稱為有效數(shù)字，上述的有效數(shù)字中，溫度T為三位，其余為四位。除了有效數(shù)字的最后一位為可疑數(shù)字外，其余的數(shù)字是可靠的。所以，根據(jù)用有效數(shù)字表示的試驗(yàn)記錄，便可推知試驗(yàn)時(shí)所用的儀器的精度。用不同精度的測量儀器所得的試驗(yàn)記錄，其有效數(shù)字的位數(shù)應(yīng)該不同。在今后的建筑材料試驗(yàn)中，必須根據(jù)試驗(yàn)中所用儀器的精度來確定有效數(shù)字的位數(shù)，而不能籠統(tǒng)地要求有效數(shù)字一定要多少位。

在書寫有效數(shù)字時(shí)，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)。

①數(shù)字“0”有時(shí)是有效數(shù)字，有時(shí)只起定位作用。

例如20.50為四位有效數(shù)字，末位數(shù)字“0”為有效數(shù)字；0.105為三位有效數(shù)字，首位數(shù)字“0”不是有效數(shù)字。

②在數(shù)值的科學(xué)表示法中，10的冪次不是有效數(shù)字。

例如7.6×103為二位有效數(shù)字；12.40×10-7為四位有效數(shù)字。

③在作單位變換時(shí)，有效數(shù)字的位數(shù)不能變更。

例如1.1t→1.1×103kg→1.1×106g是正確的；而1.1t→1100kg→1100000g是錯(cuò)誤的。

④有效數(shù)字運(yùn)算時(shí)，如e、π、等，可認(rèn)為其有效數(shù)字為無限多位，待進(jìn)行運(yùn)算后再定位。

（2）數(shù)值的修約（四舍六入五成雙）

以往采用“四舍五入”法對(duì)數(shù)值進(jìn)行修約，往往造成在大量數(shù)據(jù)運(yùn)算中正誤差無法抵消的后果，使試驗(yàn)的結(jié)果偏離真值。

在大量數(shù)據(jù)運(yùn)算中，如果第n+1位需要修約，因出現(xiàn)1、2、3、4、5、6、7、8、9這些數(shù)字的概率相等，1、2、3、4和6、7、8、9進(jìn)位的機(jī)會(huì)相等，可以抵消，唯獨(dú)出現(xiàn)5時(shí)需要進(jìn)位，故無法使正誤差抵消。

為此，現(xiàn)提出“四舍六入五成雙”的修約方法。對(duì)于位數(shù)很多的近似數(shù)，當(dāng)有效位數(shù)確定后，其后面多余的數(shù)字應(yīng)該舍去，只保留有效數(shù)字最末一位，這種修約（舍入）規(guī)則是“四舍六入五成雙”，也即“4舍6入5湊偶”這里“四”是指≤4時(shí)舍去，“六”是指≥6時(shí)進(jìn)上，“五”指的是根據(jù)5后面的數(shù)字來定，當(dāng)5后有數(shù)時(shí)，舍5入1；當(dāng)5后無有效數(shù)字時(shí)，需要分兩種情況來對(duì)待：

①5前為奇數(shù)，舍5入1；

②5前為偶數(shù)，舍5不進(jìn)（0是偶數(shù)）。

例如

9.8249→9.82，9.82671→9.83

9.8350→9.84，9.8351→9.84

9.8250→9.82，9.82501→9.83

從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度，“四舍六入五成雙”比“四舍五入”要科學(xué)，在大量運(yùn)算時(shí)，它使舍入后的結(jié)果誤差的均值趨于零，而不是像四舍五入那樣逢五就入，導(dǎo)致結(jié)果偏向大數(shù)，使得誤差積累進(jìn)而產(chǎn)生系統(tǒng)誤差，“四舍六入五成雙”使測量結(jié)果受到舍入誤差的影響降到最低。

例如

1.15+1.25+1.35+1.45=5.2，若按四舍五入取一位小數(shù)計(jì)算：

1.2+1.3+1.4+1.5=5.4

按“四舍六入五成雙”計(jì)算：

1.2+1.2+1.4+1.4=5.2，舍入后的結(jié)果更能反映實(shí)際結(jié)果。

尤其是在化學(xué)領(lǐng)域應(yīng)用廣泛，在計(jì)算“分析化學(xué)”“化學(xué)平衡”時(shí)經(jīng)常需要使用“四舍六入五成雙”這種較精確的修約方法。這樣得到的結(jié)果較精確，而且運(yùn)算量相對(duì)來說也不大，十分有用。

（3）數(shù)字運(yùn)算規(guī)則

①加減法　由于有效數(shù)字的位數(shù)取決于測量儀器的精度，數(shù)據(jù)的最后一位是可疑數(shù)字，所以有效數(shù)字加減運(yùn)算的結(jié)果應(yīng)與儀器精度最低的相同。例如：0.0254+20.12-3.25546=？

其中第二個(gè)數(shù)字的精度最低為十分之一，所以它們的結(jié)果也是十分之一，與每一數(shù)字的有效數(shù)字位數(shù)多少?zèng)]有關(guān)系。它們修約后為0.0254→0.02；3.25546→3.26。所以，0.0254+20.12-3.25546=0.02+20.12-3.26=16.88。

②乘除法　乘除法運(yùn)算后的有效數(shù)字位數(shù)，與參加運(yùn)算的數(shù)據(jù)中有效數(shù)字位數(shù)最少的相同。例如39.5×4.08×0.0013÷868=0.00024=2.4×10-4。

在參加運(yùn)算的數(shù)據(jù)中，它們的相對(duì)誤差如下所示，由以下相對(duì)誤差計(jì)算結(jié)果可見，相對(duì)誤差最大者，對(duì)運(yùn)算的結(jié)果起決定性作用。

0.1÷39.5=0.25%；

0.01÷4.08=0.24%；

0.0001÷0.0013=7.7%（最大）；

1÷868=0.12%。