2.5　磁場計算

從電磁場的基本理論出發，在建立磁力耦合傳動器磁場計算的物理和數學模型的基礎上，利用有限元法求出磁力耦合傳動器橫斷面的磁場分布情況并對磁場進行計算是比較方便的。同時，利用這一程序對磁力耦合傳動器的磁極數、軛鐵厚度、永磁體厚度、氣隙大小等參數對磁扭矩的影響進行剖析，對有關的結構參數進行優化，也為正確合理地設計磁力耦合傳動器提供了理論依據。

2.5.1　基本假設與物理模型

（1）基本假設

①假設磁力耦合傳動器的氣隙尺寸遠小于其軸向尺寸，這樣可以忽略端部效應的影響，把磁場分布的三維問題當作二維問題進行處理。

②磁力耦合傳動器的內外軛鐵均為導磁體且足夠厚，在軛鐵處不發生磁飽和。

③磁力耦合傳動器的磁場是周期分布的，在一個極矩范圍內求解即可。

在上述假設的基礎上，就可以研究磁力耦合傳動器的橫斷面的場形分布，并且可以忽略內磁轉子軛鐵內側、外磁轉子軛鐵外側的磁場，同時，為更準確地反映磁力耦合傳動器內部磁場相互作用的實際情況（相鄰磁體之間存在漏磁），以半個圓周為研究對象。

（2）物理模型

基于上述分析，物理模型如圖 2-16所示，各參數名稱和符號見表2-7。

2.5.2　數字模型

①基本方程

如果材料為非線性（軛鐵處出現磁飽和如AlNiCo永磁材料），則磁導率為磁感應強度B的函數，即：

磁感應強度B是通過矢量磁位A得到的，有：

由以上各式得：

　　 （2-18）

對于線性的各向同性的材料有：

　　 （2-19）

對于非線性的各向異性的材料有：

　　 （2-20）

②邊界條件　在磁場的有限元計算中，邊界條件的確定是非常必要的，只有足夠的邊界條件才能保證問題解的唯一性，邊界條件通常有三種形式。

a.Dirichet條件：在這種邊界條件中，最常用的是定義A=0，它意味著阻止磁通穿過邊界，物理模型中的AC、BD屬于這種邊界。

b.Neuman條件：定義了沿邊界A的法向分量通常取，這種定義保證了磁流垂直邊界穿過，高磁導率的金屬邊界屬于這種邊界，物理模型中，不同介質的交界線（與永磁體交界線除外）屬于這種邊界。

c.Robin條件：也稱混合邊界條件，描述了A與它的法向分量的關系，物理模型中永磁體交界線屬于這種邊界。

③磁場力計算　根據電磁理論，磁場對于載流導體和鐵磁物質之間存在著力的作用，沿磁力線方向存在著縱張力，同時在垂直于磁力線的方向存在著側壓力。按Maxwell公式，對于穩態或緩變磁場作用在真空介質中任一單位表面積上的電磁應力為：

　　 （2-21）

式中　P——單位表面積上的電磁應力，N/m2；

n——沿該表面法線方向的單位矢量；

B——該表面處的磁感應強度，T；

μ0——真空磁導率，μ0=4π×10-7。

磁場對某一物體的作用力，可以通過計算包圍該物體的任意封閉表面s上應力P的面積積分得到，即此公式適用于磁場對任意物體的作用力的計算，只要該物體是一剛體。計算出了兩作用面積上的作用力F，則F與作用半徑rF的乘積為磁作用扭矩。

2.5.3　有限元法計算

（1） 方程

對磁力耦合傳動器磁路設計進行研究，需要了解磁力耦合傳動器磁隙中每點磁場強度，所以引入了麥克斯韋方程組的微分形式，采用矢量磁位A作為求解對象，求解區域內磁場方程為：

　　 （2-22）

式中　Ω——求解區域；

L1——永磁體與其他介質的分界線；

L2——不同介質的分界線；

m——永磁體的磁化矢量；

n——永磁體表面外法線單位矢量；

β——磁阻率。

利用有限元法求解場的拉普拉斯方程的邊值問題，就是把該邊值問題等價為一個相應的條件變分問題，再通過引入近似函數，把條件變分問題離散為方程組，最后求解方程組，求得磁場的分布后，再用Maxwell應力法求得最大扭矩。

（2） 注意事項

由于有限元法把求解區域離散化了，B值在一個三角形單元中為一個常數，在另一個三角形單元中為另一個常數，因此，磁場分布成為不連續。為了減小這種離散誤差，必須把區域剖分得足夠細，特別在磁場較強并且磁場變化較大的地方，以便使計算所得的磁場能較好地逼近真實情況。

磁場有限元分析的目的是求力與扭矩，通常是通過麥克斯韋應力法求得。然而，使用麥克斯韋應力法應遵循一定的原則，否則，所得結果（力、扭矩）與實際結果將相差很大。下面說明如何建立問題，如何正確選擇積分路徑，以便通過麥克斯韋應力法對力、扭矩進行準確估算。

物體所受的力是由包含此物體封閉表面所受的力的合力。式（2-21）給出了一個物體上磁場力的理論計算值，然而在利用有限元法進行計算時，出現了數值上的誤差。這是因為盡管矢量磁位A的計算很精確，但B與H的計算是不太準確的，因為它們是通過A的微分得到的，也就是說，A是每一個單元上的線性函數，而B和H在每一單元為一定值。在B與H變化較大的區域，誤差較大，尤其在不同導磁材料的邊界處，B與H的切向分量的誤差更大。最大的誤差值出現在這種交界面的拐角處。然而，應力法有一個性質，對于一個確定的問題，無論積分路徑如何，只要包圍這個所求物體的路徑僅通過空氣（或者，至少路徑的每個點都在同一磁導率區域），那么所計算的力或扭矩就是準確的。

因此，得到準確力、扭矩值有兩條原則，一是所定義的輪廓線不能在邊界上，也不能在兩物體的分界面上；二是在求解區網格應劃得盡可能小。

2.5.4　穩定磁場磁吸引力的計算

（1） 磁耦合力的微分表達式

磁耦合力f為

　　 （2-23）

式中　 ——磁場能量wm隨坐標g的變動率；

?——與磁路交鏈的總磁通。

在一個非均勻的場中，磁場的能量可以表示為

　　 （2-24）

式中　E——工作磁隙中磁勢；

G——磁導。

在理想狀態的磁耦合系統中，正常使用的磁力耦合系統的磁勢可近似看作不變，磁耦合力f的大小可以寫成

　　 （2-25）

從式中可以看出，在相同的磁勢E下，磁導G隨坐標g的變化率愈大，則磁耦合力f愈大。因此，若想獲得足夠大的磁傳動力，工作磁隙中須建立足夠的磁勢E，同時使磁導G在力傳遞方向隨坐標g的變化率足夠大。

（2） 磁耦合力計算公式的推導

磁場是物質存在的一種形態，具有能量和動量。在傳遞力或扭矩的過程中，磁場的分布要發生變化或者說rotH不為零。那么隨時在磁場中任一處所存在的單位體積力fg表示為

　　 （2-26）

根據矢量運算可知

　　 （2-27）

因此

　　 （2-28）

由于

B（gradB）=div（BB）-BdivB

而且

divB=0

因此

B（gradB）=div（BB）

把上列各式綜合處理可得

　　 （2-29）

整個磁場區內體積力的計算，是將fg進行體積積分所得

　　 （2-30）

矢量分析公式

整理式（2-30）為：

　　 （2-31）

式中　cosθ——矢量B與面積元ds法線方向間夾角的余弦；

Bo——B的單位矢量。

式（2-31）積分項中，第一項表示與面積元法線方向相反的表面力。因此，積分是沿著整個磁場的邊界進行的。第二項表示B2cosθ沿邊界的面積分，因此，在矢量B與面積ds法線的夾角為90°時，其值為零，第二項沿磁場側面積的積分為零。

對式（2-31）第一項采用MKSA制改寫為

　　 （2-32）

根據磁路設計和計算的實際對式（2-32）簡化改寫為

　　 （2-33）

式（2-33）表示某一單元（或單級磁極）磁體的磁吸引力計算式，在磁力耦合傳動技術的設計和組合排列中，其磁路是由多級磁極耦合組成的，因此式（2-33）應改寫為：

　　 （2-34）

式中　m——磁極極數；

α——磁體損失系數（或漏磁因素），計算較為復雜，根據設計經驗和試驗計算假定在常用磁驅動的設計中選0.3～0.5；

tg——磁隙高度，cm；

B——磁體的工作點，通過計算磁導值，在B/H圖上用圖解法求得，Gs；

Sc——磁極作用方向上的磁極面積，cm2。

（3）磁傳遞扭矩計算

磁傳遞扭矩T為

T=FxRc（kgf·cm）　　 （2-35）

式中　Rc——磁場作用的力臂，對旋轉件來說為磁場轉動作用的平均半徑，cm；

Fx——磁場作用力（或磁場吸引力），kgf。