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書名：概率論與數理統計
作者名：龐淑萍孫偉
本章字數： 1861字
更新時間： 2020-02-26 14:00:19

第三節　古典概型與幾何概型

一、古典概型

本節我們討論一類比較簡單的隨機試驗，隨機試驗中每個樣本點的出現是等可能的情形.

引例　一個袋子中裝有10個大小、形狀完全相同的球，3個紅色球，7個黑色球，從中任取一球，顯而易見，任一球被抽到的可能性是相同的，均為，且該試驗的樣本空間為Ω={紅色，黑色}.

［定義1］　若一個隨機試驗滿足如下條件：

①基本空間只有有限多個元素（基本事件），即只有有限個試驗結果

Ω={A1，A2，A3，…，An}；

②基本事件A1，A2，A3，…，An出現的可能性相等.

則隨機試驗稱為古典概型.

例如，擲一枚質地均勻的骰子，是一個古典概型；又如，從裝有3紅、5白、2黑三色球的盒子中任取一個觀察其顏色后放回，也是一個古典概型.

［定義2］　在古典概型下，若基本事件總數為n，事件A包含的基本事件數為k，則事件A發生的概率為，記作

即事件A的概率P（A）為A中包含的基本事件個數k與基本事件總數n的比值，稱這種概率為古典概率.這種確定概率的方法稱為古典方法.

例如，上面第二個古典概型中，設A=“任取一球為紅球”，則k=3，n=10，所以

而每一個球被取到的概率相等，都是，這正反映了等可能性的事實.由此可以看到，為了計算事件A的概率，有時不必將Ω的元素一一列出，而只需求出Ω中基本事件總數n和A中包含的基本事件數k.

【例1-3-1】　拋一枚質地均勻的硬幣，求“反面向上”的概率.

解：此試驗只有兩個結果A1=“正面向上”，A2=“反面向上”，于是Ω={A1，A2}具有有限性；又由硬幣質地均勻可知，A1和A2發生的可能性相等，所以是古典概型.故

【例1-3-2】　保險箱的號碼鎖若由四位數字組成，問一次就能打開保險箱的概率是多少？

解：由于四個位上的數字可以重復，所以可能的號碼有104個，即n=104.

設A=“一次打開保險箱”，則k=1，于是

也就是說，一次就能打開保險箱的概率是萬分之一.

【例1-3-3】　口袋中有10張卡片，其中2張有獎，兩個人依次從口袋中摸出一張，問第一人和第二人中獎的概率各是多少？

解：設A1=“第一人中獎”，A2=“第二人中獎”，由古典定義有

【例1-3-4】　盒中有2個紅球，3個白球，從中任取兩個球，試求：

（1）兩個中恰有一個白球的概率；

（2）兩個都是白球的概率；

（3）兩個中至少有一個白球的概率.

解：從5個球中任取兩個，設事件A1=“兩個中恰有一個白球”，A2=“兩個都是白球”，A=“兩個中至少有一個白球”，則

A=A1∪A2.

由于A1和A2互不相容，且

所以　　

【例1-3-5】　從0，1，2，3這四個數字中任取三個進行排列，求“取到的三個數字排列成三位偶數”的概率.

解：設A=“取得的三位數字排成三位偶數”

A1=“排成個位為0的三位偶數”，A2=“排成個位為2的三位偶數”，則

A=A1∪A2

由于A1、A2互不相容，且

所以　　

【例1-3-6】　一批產品有50件，其中45件合格品，5件不合格品，從這批產品中任取3件，求其中至少有一件不合格品的概率.

解：設A=“至少有一件不合格品”，則“全是合格品”，于是

讀者可用加法公式解此題，并加以比較.

二、幾何概型

古典概型只考慮了有限等可能結果的隨機試驗的概率模型，這限制了它的使用范圍，這里我們進一步研究樣本空間為一線段、一平面區域或一空間立體等的等可能隨機試驗的概率模型，即保留等可能性，允許試驗結果為無限個，這種試驗模型為幾何概型.

①設樣本空間S是平面上某一區域，它的面積為μ（S）；

②向區域S上隨機投擲一點，隨機投擲的含義是：該點落入S內任何部分區域內的可能性只與該部分區域的幾何測度成正比，而與其位置和形狀無關，如圖1-3-1所示，向區域S上隨機投擲一點，該點落在區域A的事件仍記為A，則A的概率為P（A）=λμ（A），其中λ為常數，而P（S）=λμ（S），于是得λ=，從而事件A的概率為