2.2 系統(tǒng)的分類

2.2.1 系統(tǒng)的初始狀態(tài)

在討論連續(xù)系統(tǒng)的分類之前，首先討論引起連續(xù)系統(tǒng)響應(yīng)的初始狀態(tài)（條件），其基本概念也可用于離散系統(tǒng)。“初始”實(shí)際是一個(gè)相對(duì)時(shí)間，通常是指一個(gè)非零的電源接入電路系統(tǒng)的瞬間，或電路發(fā)生“換路”的瞬間，可記為t=t0。為討論問題方便，一般將t0=0作為“初始”時(shí)刻，并用0–表示系統(tǒng)“換路”前系統(tǒng)存儲(chǔ)的初始狀態(tài)，用0+表示“換路”后系統(tǒng)響應(yīng)的初始條件。

下面以電容、電感的電壓、電流關(guān)系為例來理解系統(tǒng)初始狀態(tài)與初始條件。

【例2-1】如圖2-2所示簡單理想電路系統(tǒng)，已知激勵(lì)電流i（t），求響應(yīng)vC（t）。

解：由電容的電壓、電流關(guān)系

該式是一階線性微分方程，解此方程可得響應(yīng)為

該式說明電容電壓與過去所有時(shí)刻流過電容的電流有關(guān)，因此也稱電容為動(dòng)態(tài)（記憶、儲(chǔ)能）元件。要知道全部時(shí)刻的電流iC（t）是不實(shí)際的，通常要計(jì)算的vC（t）一般需要由已知某時(shí)刻t0開始到所要計(jì)算時(shí)刻t的iC（t）以及此時(shí)刻前的電容電壓vC（t0）來確定，即

若t0=0，則上式成為

因此，只有已知t＞t0或t＞0時(shí)的iC（t）以及系統(tǒng)的初始條件vC（t0+）或vC（0+），才能求解t＞t0（t＞0）系統(tǒng)的響應(yīng)vC（t）。

而vC（t0+）或vC（0+）與系統(tǒng)的初始狀態(tài)vC（t0–）或vC（0–）密切相關(guān)。vC（t0–）或vC（0–）是在iC（t）時(shí)刻t=t0–或t=0–以前的作用，反映了系統(tǒng)在該時(shí)刻的儲(chǔ)能。

由電容與電感的對(duì)偶關(guān)系，不難得到

以及

若t0=0，則有

與電容情況相同，該式表明電感也是動(dòng)態(tài)（記憶／儲(chǔ)能）元件。只有已知t＞t0（或t＞0）時(shí)的vL（t）以及系統(tǒng)的初始條件iL（t0+）、iL（0+），才能求解t＞t0（t＞0）系統(tǒng)的響應(yīng)iL（t）。同樣iL（t0+）、iL（0+）與系統(tǒng)的初始狀態(tài)iL（t0–）、iL（0–）密切相關(guān)，iL（t0–）、iL（0–）是電壓vL（t）在時(shí)刻t=t0–或t=0–以前的作用，即系統(tǒng)在該時(shí)刻的儲(chǔ)能。

2.2.2 系統(tǒng)的響應(yīng)

根據(jù)引起響應(yīng)的不同原因，系統(tǒng)的響應(yīng)可以分為零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)。

系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)分別定義如下：

當(dāng)系統(tǒng)的激勵(lì)為零，僅由系統(tǒng)初始狀態(tài)（儲(chǔ)能）產(chǎn)生的響應(yīng)是系統(tǒng)的零輸入（Zero Input）響應(yīng)，記為yzi（t）或yx（t）；當(dāng)系統(tǒng)的初始狀態(tài)（儲(chǔ)能）為零，僅由系統(tǒng)激勵(lì)產(chǎn)生的響應(yīng)是系統(tǒng)的零狀態(tài)（Zero State）響應(yīng)，記為yzs（t）或yf（t）。

下面通過具體例題來討論系統(tǒng)的響應(yīng)。

【例2-2】分析如圖2-2所示電路系統(tǒng)，且已知vC（0–）=1/2V，C=2F，電流i（t）的波形如圖2-3所示，求t≥0的響應(yīng)vC（t），并繪出波形圖。

解：由已知條件可知，該系統(tǒng)既有初始儲(chǔ)能，也有激勵(lì)，所以系統(tǒng)響應(yīng)既有初始儲(chǔ)能產(chǎn)生的部分，也有激勵(lì)產(chǎn)生的部分。從電流i（t）波形可知，i（t）除了在t=0時(shí)刻加入，在t=1及t=2還有變化，都可以理解為“換路”，因此在t=0–、t=1–及t=2–分別有三個(gè)初始狀態(tài)vC（0–）、vC（1–）和vC（2–），利用電容電壓無跳變，可以解出對(duì)應(yīng)的三個(gè)初始條件vC（0+）、vC（1+）和vC（2+）。由此得到響應(yīng)（如圖2-4所示）為

例2-2是一階微分方程描述的簡單系統(tǒng)。可以看到，為了求解它的響應(yīng)，除了知道系統(tǒng)的激勵(lì)外，還需要知道系統(tǒng)的初始條件。

推論，若系統(tǒng)是由n階微分方程描述的，則求解響應(yīng)除了激勵(lì)外，還必須知道系統(tǒng)的n個(gè)初始條件（狀態(tài)）。

n階線性微分方程的一般形式為

若初始條件（0+）（j=0，1，…，n–1）或（0–）（j=0，1，…，n–1）已知，要根據(jù)給定的初始條件來求解系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)。

2.2.3 系統(tǒng)的分類

1．動(dòng)態(tài)系統(tǒng)與靜態(tài)系統(tǒng)

含有動(dòng)態(tài)元件的系統(tǒng)是動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，如RC電路、RL電路。沒有動(dòng)態(tài)元件的系統(tǒng)是靜態(tài)系統(tǒng)，也稱即時(shí)系統(tǒng)，如純電阻電路。

動(dòng)態(tài)系統(tǒng)在任意時(shí)刻的響應(yīng)不僅與該時(shí)刻的激勵(lì)有關(guān)，還與該時(shí)刻以前的激勵(lì)有關(guān)；靜態(tài)系統(tǒng)在任意時(shí)刻的響應(yīng)僅與該時(shí)刻的激勵(lì)有關(guān)。描述動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為微分方程，描述靜態(tài)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為代數(shù)方程。

2．因果系統(tǒng)與非因果系統(tǒng)

因果系統(tǒng)滿足在任意時(shí)刻的響應(yīng)y（t）僅與該時(shí)刻以及該時(shí)刻以前的激勵(lì)有關(guān)，而與該時(shí)刻以后的激勵(lì)無關(guān)。也可以說，因果系統(tǒng)的響應(yīng)是由激勵(lì)引起的，激勵(lì)是響應(yīng)的原因，響應(yīng)是激勵(lì)的結(jié)果，響應(yīng)不會(huì)發(fā)生在激勵(lì)加入之前，系統(tǒng)不具有預(yù)知未來響應(yīng)的能力。例如系統(tǒng)的激勵(lì)f（t）與響應(yīng)y（t）的關(guān)系為，這是一階微分方程，而響應(yīng)與激勵(lì)的關(guān)系是積分關(guān)系，則該系統(tǒng)是因果系統(tǒng)。響應(yīng)與激勵(lì)具有因果關(guān)系的系統(tǒng)也稱為物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)。

如果響應(yīng)出現(xiàn)在激勵(lì)之前，那么系統(tǒng)就是非因果系統(tǒng)，也稱為物理不可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)。例如如圖2-5（a）所示系統(tǒng)的響應(yīng)與激勵(lì)的關(guān)系為y1（t）=f1（t–1），響應(yīng)出現(xiàn)在激勵(lì)之后，則系統(tǒng)是因果系統(tǒng)；而如圖2-5（b）所示系統(tǒng)的響應(yīng)與激勵(lì)的關(guān)系為y2（t）=f2（t+1），響應(yīng)出現(xiàn)在激勵(lì)之前，那么該系統(tǒng)就是非因果系統(tǒng)。

一般由模擬元器件，如電阻、電容、電感等組成的實(shí)際物理系統(tǒng)都是因果系統(tǒng)。在數(shù)字系統(tǒng)中對(duì)數(shù)字信號(hào)進(jìn)行處理時(shí)，利用計(jì)算機(jī)的存儲(chǔ)功能，可以逼近非因果系統(tǒng)，從而實(shí)現(xiàn)許多模擬系統(tǒng)無法完成的功能，這也是數(shù)字系統(tǒng)優(yōu)于模擬系統(tǒng)的一個(gè)方面。

另外，t＜0時(shí)為零的信號(hào)也稱為因果信號(hào)。對(duì)于因果系統(tǒng)，在因果信號(hào)激勵(lì)下其響應(yīng)也是因果信號(hào)。

3．連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)與離散時(shí)間系統(tǒng)

激勵(lì)與響應(yīng)均為連續(xù)時(shí)間信號(hào)的系統(tǒng)是連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)，也稱模擬系統(tǒng)；激勵(lì)與響應(yīng)均為離散時(shí)間信號(hào)的系統(tǒng)是離散時(shí)間系統(tǒng)。普通的電視機(jī)是典型的連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)，而計(jì)算機(jī)則是典型的離散時(shí)間系統(tǒng)。

隨著大規(guī)模集成電路技術(shù)的發(fā)展與普及，越來越多的系統(tǒng)是既有連續(xù)時(shí)間部分又有離散時(shí)間部分的混合系統(tǒng)。如圖2-6所示為一個(gè)混合系統(tǒng)。

4．線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)

“線性”系統(tǒng)是滿足疊加性與齊次性條件的系統(tǒng)。考慮引起系統(tǒng)響應(yīng)的因素，除了系統(tǒng)的激勵(lì)之外，還要考慮系統(tǒng)的儲(chǔ)能，因此線性系統(tǒng)必須滿足以下三個(gè)條件。

1）可分解性

線性系統(tǒng)的響應(yīng)可以分解為零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)，即系統(tǒng)響應(yīng)可表示為

2）零輸入線性

輸入為零時(shí)，由各初始狀態(tài){x1（0），x2（0），…，xn（0）}引起的響應(yīng)滿足疊加性與齊次性，若

xk（0–）→yzik（t）（k=1～n）t≥0

則

式（2-3）可用圖2-7的方框圖表示。

3）零狀態(tài)線性

初始狀態(tài)為零時(shí)，由各輸入激勵(lì)f1（t），f2（t），…，fm（t）引起的響應(yīng)具有疊加性與齊次性，即若

fi（t）ε（t）→yzsi（t）ε（t）

則

式（2-4）可由圖2-8的方框圖表示。

不滿足上述任何一個(gè)條件的系統(tǒng)都是非線性系統(tǒng)。

如果線性系統(tǒng)滿足因果性，那么由t＜0，f（t）=0，可以得到y（t）=0（t＜0）。

【例2-3】已知系統(tǒng)輸入f（t）與輸出y（t）的關(guān)系如下，判斷下面的系統(tǒng)是否為線性系統(tǒng)。

（1）y（t）=5x（0–）f（t）ε（t）；

（2）y（t）=4x（0–）+3f2（t）ε（t）；

（3）。

解：（1）不滿足可分解性，是非線性系統(tǒng)。

（2）不滿足零狀態(tài)線性，是非線性系統(tǒng)。

（3）滿足可分解性、零輸入線性、零狀態(tài)線性，所以該系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。

【例2-4】討論具有如下輸入和輸出關(guān)系的系統(tǒng)是否為線性系統(tǒng)。

y（t）=2+3f（t）

解：f1（t）→y1（t）=2+3f1（t）

f2（t）→y2（t）=2+3f2（t）

f1（t）+f2（t）→y（t）=2+3[f1（t）+f2（t）]≠y1（t）+y2（t）=4+3[f1（t）+f2（t）]

從上述推導(dǎo)，該系統(tǒng)應(yīng)屬非線性系統(tǒng)。但是考慮到f（t）=0時(shí)，y（t）=2，若把它看作是初始狀態(tài)引起的零輸入響應(yīng)，則滿足線性系統(tǒng)條件，故該系統(tǒng)是線性的。這個(gè)系統(tǒng)的輸入和輸出關(guān)系如圖2-9所示。

5．時(shí)變系統(tǒng)與非時(shí)變系統(tǒng)

從系統(tǒng)的參數(shù)來看，系統(tǒng)參數(shù)不隨時(shí)間變化的是時(shí)不變系統(tǒng)，也稱非時(shí)變系統(tǒng)、常參系統(tǒng)、定常系統(tǒng)等；系統(tǒng)參數(shù)隨時(shí)間變化的是時(shí)變系統(tǒng)，也稱變參系統(tǒng)。

從系統(tǒng)響應(yīng)來看，時(shí)不變系統(tǒng)在初始狀態(tài)相同的情況下，系統(tǒng)響應(yīng)與激勵(lì)加入的時(shí)刻無關(guān)。即在{x1（0），x2（0），…，xn（0）}時(shí)，f（t）→y（t），則在{x1（t0），x2（t0），…，xn（t0）}時(shí)，有

時(shí)不變系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系可由圖2-10表示。由圖可見，當(dāng)激勵(lì)延遲一段時(shí)間t0加入時(shí)不變系統(tǒng)時(shí)，輸出響應(yīng)亦延時(shí)t0才出現(xiàn)，并且波形變化的規(guī)律不變。

【例2-5】已知系統(tǒng)激勵(lì)與響應(yīng)之間的關(guān)系如下，判斷該系統(tǒng)是否是時(shí)不變系統(tǒng)。

y（t）=cos3t·x（0）+2t·f（t）ε（t）

解：因?yàn)槌跏紶顟B(tài)x（0）與激勵(lì)f（t）ε（t）的系數(shù)均不是常數(shù)，所以系統(tǒng)是時(shí)變系統(tǒng)。