0.2 連續和離散

連續信號是指在自變量的連續變化范圍內都有定義的信號。實際系統中存在的絕大多數物理過程或物理量，都是在時間和幅值上連續的量，這類連續信號稱為模擬信號。處理連續信號的系統是連續系統。

離散信號是指僅在一系列分離的時間點k（k是整數，k=0，±1，±2，…）上才有取值的一種信號，也稱離散時間序列。處理離散信號的系統是離散系統。

微積分是處理連續函數的運算，包括導數和積分，分別用于測量函數的變化率和函數圖形下的面積或體積。有了導數和積分，可引入微分方程來描述動態系統。

而處理離散時間序列，只需要采用有限運算，因此求導和積分被差分和累加取代，而微分方程則由差分方程取代。

0.2.1 連續表示和離散表示

物質世界里存在的現象一般可用模擬信號來模擬，如果要對模擬信號進行數字處理，首先需要通過取樣將連續信號離散化，再進行量化和編碼。將連續信號變成離散信號的常用方法是等間隔或不等間隔進行周期取樣。

如圖0-2所示，對連續信號f（t）進行等間隔采樣得到

式中，T稱為取樣周期。

只要取樣周期T足夠小，可用取樣值來描述任一個連續函數。當取樣間距小到0，則取樣函數f（kT）與被取樣函數f（t）相等，當取樣間隔不為0，只要根據采樣定理即可保證任意模擬信號能由它的采樣信號恢復。

通常將常數T省略，則離散信號用f（k）表示。

例如，以T=0.1s對正弦信號f（t）=sin（2πt）周期采樣得到的正弦序列如圖0-3所示。正弦序列的表達式為

f（k）=sin（2πkT）=sin（0.2πk）

0.2.2 導數和差分

連續時間信號f（t）的導數為

表示連續信號的變化率。

對離散信號，可用兩個相鄰序列值的差值代替Δf（t），用相應離散時間之差代替Δt，即

得到

或

這種運算稱為差分。式（0-3）稱為前向差分，式（0-4）稱為后向差分，它們都表示離散信號的變化率。

0.2.3 積分和累加

連續時間信號f（t）的積分為

表示信號f（t）的波形在（–∞，t）區間上所包含的凈面積。

在離散信號中，最小間隔Δτ就是一個單位時間，即Δτ=1，定義離散積分的運算為

這種運算又稱為離散信號的累加。

0.2.4 微分方程和差分方程

微分方程表征連續時間系統的動態特性，即系統對輸入信號的響應方式。不同類型的系統，其微分方程的形式也不同。

微分方程的應用十分廣泛，可以解決許多與導數有關的問題。例如電路系統的分析。

如圖0-4所示的電路系統，回路電流i（t）和電壓源f（t）的關系可用如下的微分方程描述

微分方程的解是一個符合方程的函數。只有少數簡單的微分方程可以求得解析解。不過即使沒有找到其解析解，仍然可以確認其解的部分性質。在無法求得解析解時，可以利用數值分析的方式，利用計算機來找到其數值解。

差分方程又稱遞推關系式，是含有未知函數及其差分的方程。滿足該方程的函數稱為差分方程的解。

差分方程是微分方程的離散化。一個微分方程不一定可以解出精確的解，把它變成差分方程，就可以求出其近似的解。

例如dy+ydt=0，y（0）=1是一個微分方程，t取值為[0，1]，此微分方程的解為y（t）=e–t。要實現微分方程的離散化，可以把t的區間分割為許多小區間[0，1/n]，[1/n，2/n]，…，[（n–1）/n，1]。

這樣上述微分方程可以離散化為差分方程，即

y（（k+1）/n）–y（k/n）+y（k/n）·（1/n）=0，k=0，1，2，…，n–1

利用y（0）=1的條件，以及上面的差分方程，可以計算出y（k/n）的近似值。