2.1　數(shù)大招瘋

科普名著《從一到無窮大》里記載了一個(gè)數(shù)學(xué)圈中廣為流傳的笑話：兩位土豪某天閑來無事做一個(gè)游戲，他們各自想一個(gè)自己腦海里所能想到的最大數(shù)字，然后比一比誰想到的數(shù)字更大，輸?shù)娜艘督o贏的人一枚金幣。土豪A自告奮勇先來，他抓耳撓腮想了許久，說出了一個(gè)他所能想到的最大數(shù)字……3（你沒聽錯(cuò)，就是3，1、2、3的3）。現(xiàn)在輪到土豪B了，對(duì)手說了個(gè)“3”，按照常理來說，只要不是想洗錢的肯定不會(huì)輸了。沒想到，土豪B絞盡腦汁花了更長的時(shí)間，最后憋出一句：好吧，你贏了……

這個(gè)結(jié)果真是令人大跌眼鏡，哭笑不得。通常我們用這個(gè)故事來挖苦土豪們的文化水平普遍不高，因?yàn)橹灰种割^就能輕松地超越“3”這個(gè)數(shù)字，斷不可能讓一個(gè)“3”給活活憋死，如果讓我們?nèi)ネ孢@個(gè)游戲的話這兩個(gè)土豪都會(huì)破產(chǎn)對(duì)不對(duì)？

可是，你要相信用手指頭數(shù)（shǔ）數(shù)（shù）這件事情（“屈指計(jì)數(shù)法”）不是從來就有的，如果這兩個(gè)土豪是生活在古老非洲部落或者澳洲的土人，那么一切就變得合情合理，因?yàn)橛谐浞值淖C據(jù)表明，那些地方的人可能并不知道比“2”更大的數(shù)字。如果你要采訪一個(gè)部落首領(lǐng)問他有多少個(gè)孩子？他只能尷尬地告訴你：一堆……因?yàn)樗緮?shù)不清。用時(shí)下流行的認(rèn)知科學(xué)的概念來說，這兩位土豪的數(shù)感（也就是對(duì)數(shù)的感覺）不太好，不過這也不能怪他們，這是人類智力發(fā)展的必經(jīng)階段，如果把一串物品一溜擺在一個(gè)未受教育的嬰兒面前，她的數(shù)法很有可能也是“1，2，1，2，1，2…”。

人類從對(duì)數(shù)的粗淺感知到發(fā)展出一套完備的計(jì)數(shù)系統(tǒng)經(jīng)歷了一段漫長的歷史時(shí)期，在這段歷史長河中有兩個(gè)時(shí)期是特別值得一提的：一個(gè)是古巴比倫時(shí)期；一個(gè)是古印度時(shí)期。

古巴比倫作為四大文明古國之一，其創(chuàng)造的璀璨文明編寫成整整一本書也不過分，有興趣的讀者可以查閱相關(guān)的文獻(xiàn)資料，我們?cè)诖司筒毁樖隽恕Ｔ跀?shù)學(xué)上，古巴比倫文明最亮眼的成就是發(fā)明了以六十進(jìn)制為主要計(jì)數(shù)工具的計(jì)數(shù)系統(tǒng)并將之廣泛地應(yīng)用到生產(chǎn)生活和天文歷法當(dāng)中。為什么說它最亮眼呢？因?yàn)橹挥羞M(jìn)位制計(jì)數(shù)方式被引入之后，大數(shù)的表示才成為可能。試想一下，如果我們都像上文中的兩個(gè)土豪一樣不懂如何表達(dá)更大的數(shù)字，大批量的商業(yè)貿(mào)易如何結(jié)算？大范圍的土地房屋如何丈量？大規(guī)模的工程建設(shè)如何計(jì)算工時(shí)和勞力？要知道古巴比倫文明發(fā)祥于兩河流域的美索不達(dá)米亞平原，那里土地肥沃、交通發(fā)達(dá)，人民的生產(chǎn)實(shí)踐極為豐富，是這些生產(chǎn)實(shí)踐倒逼了數(shù)學(xué)的萌芽與發(fā)展，而數(shù)學(xué)的發(fā)展反過來又成為人類文明產(chǎn)生實(shí)質(zhì)飛躍的堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。事實(shí)上，人類有據(jù)可考的最早文字不是詩歌，不是法條，而是數(shù)字（財(cái)經(jīng)文件）。圖2-1為大家展示了古巴比倫的數(shù)學(xué)是如何表達(dá)數(shù)字的。

可以清楚地看到，古巴比倫數(shù)字系統(tǒng)中60以下的數(shù)字用以1和10為基本單位組合而成的特殊符號(hào)來表示。至于60以上的數(shù)字，則由這些特殊符號(hào)按照位置順序依進(jìn)位制算法排列而成。例如，數(shù)字3916的表示方法為（見圖2-2）。

如今這些文字被歷史學(xué)家們稱為“楔形文字”，而承載它們的材料稱為“泥板書”。由于泥板在曬干之后堅(jiān)硬易于保存，古巴比倫時(shí)期的大量文明成就得以流傳下來，其中最出名的要數(shù)古巴比倫王朝的一位國王在公元前1700年左右頒布的人類歷史上第一部成文的法典——《漢謨拉比法典》，現(xiàn)保存于法國巴黎的盧浮宮。

3700多年后，有一位青年參觀了一個(gè)關(guān)于美索不達(dá)米亞平原的文化展，他有感而發(fā)，與搭檔一起創(chuàng)作出了一首引領(lǐng)華語流行樂壇的歌曲。這位青年的名字叫作方文山，他的搭檔是周杰倫，那首歌的名字叫《愛在西元前》。

古巴比倫數(shù)學(xué)的進(jìn)位制看起來很美好，但用起來就未必那么美好了，以今人的觀點(diǎn)來看它有一個(gè)明顯的缺陷：它無法表達(dá)在某一個(gè)位置上沒有數(shù)字。例如圖2-2中表達(dá)3916的符號(hào)排列看起來擁有固定的形式但卻可能表達(dá)兩個(gè)完全不同的數(shù)字，除了3916外，它還可能代表216316。原因在于，為了表達(dá)3916，我們把圖2-2中表示1的符號(hào)看成是從右邊數(shù)起第三個(gè)位置上的數(shù)，而在表達(dá)216316時(shí)則把這個(gè)符號(hào)看成是從右邊數(shù)起第四個(gè)位置上的數(shù)，從而

1×60³＋5×60¹＋16×60⁰＝216316

這當(dāng)然會(huì)給實(shí)際應(yīng)用帶來諸多不便。為了避免這些不必要的誤會(huì)，聰明的古巴比倫人想到了一個(gè)辦法，他們把兩個(gè)數(shù)字隔開一些以表示這兩個(gè)數(shù)字中間還有一個(gè)位置沒有數(shù)字。但即使這樣，數(shù)字的表達(dá)也是相當(dāng)混亂，隔開多少距離算是隔開？隔開多少距離算是隔一個(gè)位置，多少距離又算是隔兩個(gè)？要是看書的人是個(gè)老花眼，他完全有可能把216316當(dāng)成3916。究其原因，古巴比倫數(shù)學(xué)的計(jì)數(shù)系統(tǒng)中沒有“0”這個(gè)數(shù)字，他們尚無法接受“零”這個(gè)虛無縹緲的概念。

同時(shí)期的埃及人倒是做了一些有益的嘗試，他們使用以十為基底的單位制，在每個(gè)單位級(jí)別上放置相應(yīng)個(gè)數(shù)的代表符號(hào)來表達(dá)具體的數(shù)字。圖2-3為我們展示了這種表示方法。

代表1000的符號(hào)像不像《植物大戰(zhàn)僵尸》里面的向日葵？不過這不是向日葵啦，而是蓮花（Lotus）。埃及象形文字中最大的常用數(shù)字單位是1000000，用一個(gè)高舉雙手的小人表示，表達(dá)人們?cè)谝庾R(shí)到如此大的數(shù)字時(shí)的驚嘆之情。理論上，這套計(jì)數(shù)系統(tǒng)可以表達(dá)任意大的數(shù)字，但由于沒有像古巴比倫人那樣采用進(jìn)位制，操作起來會(huì)很麻煩。如果你想表達(dá)諸如十億這樣的大數(shù)，你需要將代表1000000這個(gè)數(shù)字的小人連續(xù)畫上一千遍，這絕對(duì)是個(gè)懲罰人的活兒，畫的人沒瘋看的人也會(huì)瘋。當(dāng)然，這畢竟是一個(gè)天文數(shù)字，在古埃及時(shí)期多半是不會(huì)用到的。更可憐的是古羅馬時(shí)期，最大的常用數(shù)字單位僅是千（M），別說搞人口普查，點(diǎn)個(gè)兵就讓人夠崩潰了……

開個(gè)玩笑，古羅馬人也不傻，他們采用的是兵團(tuán)制，在數(shù)不清總?cè)藬?shù)的情況下采用了“化整為零”的好辦法，而到了中世紀(jì)以后，羅馬人也想出了其他一些能夠方便地表示大數(shù)字的方法。但無論如何，在數(shù)學(xué)上，上面提到的兩個(gè)缺陷都是明白無誤的，解決它們還要把時(shí)間軸往后推很久。具體的時(shí)間和人物已經(jīng)無從考證，我們只知道古印度某個(gè)不知名的數(shù)學(xué)家在公元后的前幾個(gè)世紀(jì)正式引入了“0”這個(gè)符號(hào)并把它看成一個(gè)真正的數(shù)字。此后，利用0～9這十個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字構(gòu)作的十進(jìn)制位置計(jì)數(shù)法開始流行并在經(jīng)過一段艱難的歷程后最終被廣泛接受，人們對(duì)于數(shù)字的書寫得到了極大的簡化。而對(duì)于像30000000000000000這樣的大數(shù)字我們還有另一種寫法3×10¹⁶，如今稱為科學(xué)計(jì)數(shù)法，據(jù)傳也是古印度時(shí)期某個(gè)佚名數(shù)學(xué)家所發(fā)明的。

可以看到，人類為了數(shù)字的準(zhǔn)確表達(dá)展現(xiàn)出了多么巨大的創(chuàng)造才能，盡管不太起眼，古印度人所做的卻是一項(xiàng)劃時(shí)代的偉大發(fā)明。