1.3　集合與映射

我們知道，由一些確定的、不同的對象構成的一個整體稱為一個集合，集合中的每一個對象稱為這個集合的一個元素。所以，不管是天上飛的還是地上跑的，不管是水里游的還是墻上爬的，也不管是不是靜止不動的物體，只要你愿意，幾乎可以把所有你想到的東西拿金箍棒畫個圈兒就得到了一個集合。比如說你從小到大寫過的試卷（想起來都是淚啊……），又比如說你從小到大交過的男（女）朋友（不會是個空集吧，還是淚……），再比如說你微信朋友圈的所有好友（這個比較平常，一般人或多或少都會有）。

在數學里，我們通常用大寫的英文字母A、B、C等來表示集合，而集合中的元素則用小寫的英文（或希臘）字母來表示，如a∈A表示a是集合A中的一個元素。

集合的概念非常簡單，但有兩個內涵必須明確，一個是互異性，另一個是確定性?；ギ愋院美斫?，一個集合中不會出現相同的元素，比如說{1，2，2，3}就不是一個集合，因為同一個元素“2”重復出現了兩次；而確定性則是指一個集合中的元素不管采用描述法還是列舉法都必須被明確地規定下來，所以諸如“你們班的帥哥”這樣的元素全體⁽³⁾就肯定不是一個集合，因為蘿卜白菜各有所愛，一些同學在你的眼里土得掉渣，在別人眼中卻反而帥得冒泡，顏值這種東西，實在沒有辦法被量化。

在了解了集合的定義之后，中學里關于集合的練習大都局限在了維恩圖（Venn diagram）以及一大堆集合的交、并、補等運算之上，關于集合本身思想的討論反倒被擱置一旁了。不知道有幾個老師會向你們強調集合論真正的撒手锏其實是集合之間的映射呢？不太客氣地講，大部分人學習和研究數學，只是在和集合（及其上結構）以及集合與集合之間的映射打交道。比如高中數學課本里那些令人頭疼的各種函數不過是實數集的子集之間的映射，而我們放棄角度制引入弧度制也不過是想把三角函數統一到與其他初等函數相同的框架中來。

用數學的語言講，集合A到集合B的映射是一個對應法則，它把集合A中的每一個元素唯一地對應到集合B中的某個元素。比如，圖1-4向我們展示了各含有兩個元素的集合A與集合B之間所有可能的映射。

如果A中的任意兩個元素都不對應B中的同一個元素，我們稱這個映射為單射；如果B中的每個元素都至少有A中的一個元素與之對應，我們稱這個映射為滿射。集合之間的映射有很多值得研究的地方，但有一條是尤為重要的，那就是一一映射，請注意，它將在我們今后的討論中扮演極為重要的角色。

簡單地講，一一映射就是兩個集合的元素按照一定的法則一一匹配對應起來，無一遺漏。換句話說，既單且滿的映射就是一一映射，它不僅把集合A中的每一個元素唯一地對應到集合B中的元素，而且在這種對應法則之下集合B中的每個元素都有集合A中唯一的一個元素與之對應，例如圖1-4中的（3）和（4）就都是一一映射。

舉個生活中的例子，你可以想一想在一個集體婚禮的現場，所有新郎組成的集合與所有新娘組成的集合之間是否有一個一一映射呢？答案是一定的，不一一對應的話麻煩就大了。

再想一想在一列坐滿了乘客的火車上所有乘客組成的集合與所有車廂座位組成的集合之間是不是也有一個一一映射呢？答案是不一定，因為火車票除了坐票之外還有站票……當然如果你把這個例子中的火車改成飛機那就有一一映射了（你上去站一個試試）。

一一映射的概念非常簡單，若是能夠巧妙利用，往往可以收到四兩撥千斤的奇效。比如下面這個例子，你負責一次網球比賽的組織工作，報名參賽的選手總共有136名，假設比賽采用單敗淘汰制，你能迅速告訴贊助商一共會有多少場比賽嗎？

立刻拿出紙筆準備計算一下的同學可以先停一停，因為136不是2的方冪，如果按照通常的思路將選手之間兩兩配對進行比賽，三輪過后就會遇到麻煩，此時剩下17名選手，再進行下去，必將有1名選手需要輪空。你當然能夠想出各種辦法解決這個麻煩，比如抽簽晉級、高排位選手晉級等，甚至在一開始就設置一些資格賽，但不管你采用什么樣的辦法，總的比賽場次是不會變化的，它是一個唯一確定的數。

奧妙就隱藏在“單敗淘汰”這四個字中。打一場比賽，輸掉的人淘汰，這在比賽組成的集合與被淘汰選手組成的集合之間建立了一個一一映射。不管賽制如何規劃，冠軍只有一個，為了決出最后的冠軍，需要淘汰135名選手，自然也就需要135場比賽。

一一映射，可謂一劍封喉。

反過來，如果你在實際生活中忽略了一一映射，也可能引起意想不到的大麻煩。

下面這個例子是從一位老教授那里聽來的，在20世紀50年代，我國開始施行漢字簡化的工作，本來漢字字形的簡化在數學上并沒有什么不妥，但麻煩就麻煩在我們的漢字不僅字形減了，字數也減了，換句話說：在所有繁體字組成的集合與所有簡體字組成的集合之間是一個多對一而并非一一對應的關系。比如說“頭髮”的“髮”和“發財”的“發”在簡體字中都對應“發”，而“歷史”的“歷”與“曆法”的“曆”在簡體字中都對應“歷”。

這種多對一會帶來多大的麻煩呢？

這么說吧，如果你想把一本繁體字寫成的書翻譯成簡體字（不考慮不同地區習慣用語的不同），那很容易，你只要把簡繁對照表編成一個小程序，借助計算機瞬間就可以完成。但如果你想反過來把一本簡體字寫成的書快速翻譯成繁體字，那可就沒那么容易了，你要是敢把“周潤發”翻成“周潤髮”，他的粉絲不拿刀砍你才怪。但要讓我們的計算機根據上下文自動選擇一個簡體字的準確原像，對現有的單機軟件來說還是一個難以完成的任務，以至于在今天的出版界，你在中國內地能看到很多華人作家的作品，但在其他華語地區卻不太容易發現內地作家的蹤影。造成這個局面的原因竟然與數學有關，真是跌破人的眼鏡。

一一映射還有個了不起的作用就是比較集合之間的大小（我們很快會看到）。關于集合的大小，想必你的老師也不會在課堂上跟你們過分地強調，最多就是告訴你一個集合的大小就是這個集合中所包含元素的個數，比如你所有的手指頭組成集合的大小就是“10”，而你們班所有同學組成集合的大小就是你們班的人數。

沒錯，那對于一個一般的集合，我們又該如何確定它的元素個數呢？

有同學實在聽不下去了：真笨！你不會數啊？

恭喜你！你已經接近正確答案了，不過你大概不會想到，數（shǔ）數（shù），有時候也不是那么容易的事兒。

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(1)　引自愛德華?弗倫克爾．愛與數學［M］．北京：中信出版社，2016.

(2)　李祥林，中金公司原首席風控官。

(3)　這句話指“你們班的帥哥”這個由帥哥作為元素構成的全體不是一個集合。