2.4　測量誤差

2.4.1　測量誤差及其表示

（1）測量誤差　測量結果（測得值）減去被測量的真值。若用δ表示測量誤差（本章中也簡稱誤差），x表示被測量，x0表示被測量的真值，則

δ=x-x0　　（2-3）

在實際測量工作中，由于被測量的真值無法確定，因此實際上是用約定真值（比測得值更接近真值的量值，如多次測量結果的算術平均值、高精度量塊的量值等）近似確定測量誤差。此外，測量誤差是代數差，可能為正、負、零。

（2）測量誤差的表示　測量誤差有絕對誤差和相對誤差兩種表示方法。

絕對誤差就是定義所指的測量誤差，其大小可以在一定程度上反映測量精度的高低。但當比較大小不同的被測量的測量精度時，用測量的絕對誤差就顯得不太合理，此時應把被測量大小的因素考慮進去，從而又有了相對誤差的概念。相對誤差定義為絕對誤差與被測量真值的比值（通常用比值絕對值的百分數），用ε表示。由于真值是未知的，因此通常用測得值x代替真值來近似計算相對誤差，即

根據相對誤差可以對多個大小不同被測量的測量精度的高低進行比較。測量的相對誤差越小，表明測量精度越高。例如，兩被測量的大小分別為x1=30mm和x2=50mm，對這兩個被測量進行測量的絕對誤差分別為δ1=+0.03mm和δ2=-0.04mm。由于被測量的大小不同，因此不能用絕對誤差而應該用相對誤差的絕對值來比較測量精度的高低。本例中，相對誤差ε1=0.1％、ε2=0.08％，故后者的測量精度比前者高。

2.4.2　測量誤差的來源

在幾何量測量過程中，引起測量誤差的因素很多，為提高測量精度，有時要分析測量誤差的產生原因，計算各誤差因素對測量結果的影響程度，并設法減小這些影響。測量誤差的來源主要有以下幾個方面。

2.4.2.1　測量器具誤差

測量器具誤差是指測量器具本身在設計、制造和使用過程中所引起的誤差，包括以下幾部分。

（1）原理誤差　為簡化設計，相當一部分測量器具所采用的測量變換原理都是近似的，由此產生的測量誤差稱為原理誤差。例如，杠桿齒輪比較儀中測桿的直線位移與指針的角位移不是線性關系，但表盤卻采用了等分刻度；電動量儀中忽略放大、整流、濾波等電路的非線性或非線性補償不完全等，都屬于原理誤差。

還有一類原理誤差是由測量器具在結構布置上的不合理所造成的，即違反阿貝原則所引起的阿貝（Ernst Abbe）誤差。阿貝原則說的是被測量軸線只有與標準量的測量軸線重合或在其延長線上時，測量才會得到精確的結果。由此可見，千分尺、內徑千分尺等測量器具符合該原則，游標卡尺不符合。

（2）基準件誤差　測量器具中用來體現標準量（測量單位）的基準件（如量塊、線紋尺、光波波長等）的各種誤差，也將以一定的關系反映到測量結果中。

（3）制造、裝配、調整誤差　測量器具組成零部件的制造、裝配、調整誤差也會產生測量誤差。如游標卡尺刻線的刻劃誤差、指示表盤刻線分布圓心與指針的回轉軸線有安裝偏心等。

（4）使用誤差　測量器具在使用一段時間后，其組成零部件的變形、磨損，電子元件參數的改變等，也會產生測量誤差。

2.4.2.2　測量方法誤差

測量方法誤差指的是由于測量方法不完善而引起的測量誤差。

（1）安裝、定位誤差　例如圖2-9（a）中的被測直徑未能正確放置在測頭下，所測得的長度不是被測件的直徑；在圖2-9（b）中，安裝時測量線方向相對被測件的直徑發生了傾斜，所測得的也不是被測件的直徑。

（2）測頭形式不合理　在圖2-9（c）中，欲測局部尺寸，合理的方法是采用兩點式測頭。若采用平端面圓柱測頭，則必然產生測量誤差。

（3）基準不統一　基準統一原則是測量的基本原則之一，測量時應根據測量的目的選擇測量基準。對中間（工藝）測量應選工藝基準為測量基準，對終結（驗收）測量應選設計基準為測量基準。測量基準不滿足上述條件將會造成測量誤差。

（4）采用近似的計算公式　例如測量大圓柱直徑D時，先測量周長L，再按照D=L/π計算求得D。由于π是無理數，若計算時取π=3.1416，則D的結果會因π取近似值而產生誤差。

（5）測量力誤差　在接觸測量中，測量力會引起測頭及工件材料的變形而產生測量誤差。當對測量誤差有比較嚴格的要求時，要通過計算對測量力誤差進行修正。

2.4.2.3　測量環境誤差

測量環境誤差指的是由測量時的環境條件不符合標準條件所引起的測量誤差。環境條件是指溫度、濕度、振動、氣壓、灰塵等，其中以溫度對測量結果的影響最大。根據國家標準的規定，測量的標準溫度為20℃。若測量環境使被測件的溫度及計量器具的溫度偏離了標準溫度，則會引起測量誤差。

2.4.2.4　人員誤差

人員誤差指的是由操作者主觀上的因素（情緒、疲勞、技術熟練程度、眼睛的分辨能力、瞄準習慣等）所產生的測量誤差。

2.4.3　測量誤差的分類

2.4.3.1　測量誤差的分類

根據特點和性質，測量誤差可分為以下三類。

（1）系統誤差　系統誤差指的是在一定的測量條件下多次測量同一被測量時，誤差的大小和符號均不變或按某一規律變化的測量誤差。

誤差的大小和符號均不變化的系統誤差稱為定值系統誤差，例如千分尺零位不正確而產生的測量誤差，這類誤差應通過修正值法予以消除。修正值等于定值系統誤差的相反數，給測得值加修正值等于減去定值系統誤差。若用Δ定表示定值系統誤差，則修正值

K=-Δ定　　（2-5）

誤差的大小和符號按某一規律（如線性規律、正弦規律等）變化的系統誤差稱為變值系統誤差，例如環境溫度引起的不同溫度下的測量誤差。對這類誤差的處理原則是確定變化的規律后，根據誤差的變化規律通過適當的技術手段予以修正。

另外，根據對誤差的大小、符號或變化規律的掌握情況，系統誤差還可分為已定系統誤差和未定系統誤差兩類。已定系統誤差指的是大小、符號或變化規律已被測量者掌握的系統誤差，未定系統誤差則正好相反。對已定系統誤差的處理原則同前所述，對未定系統誤差的處理原則是估計出誤差的范圍，然后將其按隨機誤差處理。

（2）隨機誤差　隨機誤差指的是在一定的條件下多次測量同一被測量時，誤差的大小和符號均以不可預測的方式出現的一類測量誤差。所謂不可預測指的是無法預見下一次測量時所出現的測量誤差的大小和符號。雖然某一次測量的隨機誤差的大小和符號不可預測，但若把相同條件下多次測量的測量隨機誤差看成是一個總體，那么這一總體中測量隨機誤差的大小、符號卻是按一定的分布規律（如正態分布、均勻分布、t分布等）分布的。

隨機誤差無法避免，在理論上也無法完全消除。對隨機誤差的處理原則是：用概率論和數理統計的方法減小其影響，估計出在一定置信概率下誤差可能出現的范圍（極限誤差）。

（3）粗大誤差　粗大誤差指的是超出預計的一類測量誤差，可以理解為明顯歪曲測量結果的誤差。這類誤差往往是由測量者主觀上的操作過失（讀數錯誤、瞄準錯誤或被測件安裝出現較大誤差等）或客觀上測量條件的意外變化（突發振動、電脈沖干擾等）導致的。

粗大誤差的存在會明顯歪曲測量結果，所以含有粗大誤差的測量結果是不能用的。對這類誤差的處理原則是：按一定的判別準則找出含有粗大誤差的測得值，然后從測得值序列（測量列）中將它們剔除。

2.4.3.2　測量精度的表述方法

人們經常提到的關于測量精度的術語主要有測量的正（準）確度、精密度、精確度、不確定度等，下面逐個介紹。

（1）正（準）確度　正（準）確度反映的是測量結果中所含系統誤差的大小，系統誤差越小，正（準）確度越高。

（2）精密度　精密度反映的是測量結果中所含隨機誤差的大小，隨機誤差越小，精密度越高。

（3）精確度　精確度（簡稱精度）是正（準）確度和精密度的綜合，是對測量結果中所含系統誤差與隨機誤差的綜合反映。只有當正確度、精密度二者都高時，測量的精確度才高。圖2-10所示的打靶結果示意說明了上述三個術語的意義及相互之間的關系。

（4）不確定度　在修正掉已定系統誤差、剔除掉粗大誤差后，測量結果中還含有隨機誤差和未定系統誤差。這兩類誤差是估計被測量真值存在范圍（真值對測量結果的分散性）的基本依據。

測量不確定度是與測量結果相聯系的參數，表征可被合理地賦予被測量的量值的分散特性。以標準偏差表示的測量不確定度稱為標準不確定度，它可按A類評定標準評定（對觀測列進行統計分析評定不確定度），也可以按B類標準評定（根據以前的測量數據、測量器具的產品說明書、檢定證書、技術手冊等有關資料評定不確定度）。與一定的置信水平相對應，用標準偏差的若干倍（通常為2～3倍）來確定測量結果的存在區間，稱為擴展不確定度。

2.4.4　隨機誤差的處理

2.4.4.1　隨機誤差的分布規律

隨機誤差是由測量過程中一些不穩定的、隨機變化的因素所導致的，如溫度的波動、計量器具中傳動間隙的變化、示值變動、測力不穩定等。盡管某一次測量的隨機誤差的大小和符號是無規律的，但若用同樣的方法在同樣的條件下對同一被測量進行多次重復測量，則這些測量結果（測得值）所對應的隨機誤差在總體上卻是按一定的分布規律分布的（注：本書中如無特指，均認為測量的隨機誤差服從正態分布）。

表2-4為在相同的測量條件下對某軸銷的同一部位進行200次測量后所得到的200個測量結果的統計表。測量結果中已消除了系統誤差和粗大誤差的影響，差異是由隨機誤差引起的。測得值的最大值為20.012mm，最小值為19.990mm。把這一分布區間再細分為11個小區間，即對測得值按大小進行分組統計，得到測得值落在分布區間內的詳細具體情況（統計學中的直方圖）。

以測得值x為橫坐標、測得值出現在某一區間內的頻率ni/N為縱坐標作圖，可以得到如圖2-11所示的統計直方圖，各區間中點連成的折線稱為實際分布曲線。如果測量次數N→￥，分組區間的間隔Δx→0，則可得到如圖2-12所示的光滑分布曲線。實驗表明，除少數情況外，測量的隨機誤差大多服從正態分布。圖2-12中的分布曲線稱為正態分布曲線（Gauss曲線），其縱坐標p稱為概率密度。

由概率論可知，正態分布的概率密度函數為

式中，p稱為概率密度；σ稱為標準偏差。由于確定隨機誤差δ=x-x0時被測量真值x0是無法確定的，通常的做法是用約定真值（算術平均值，后詳）替代真值x0，此時的概率密度函數變成

作為一種隨機變量，含有隨機誤差的測得值也有兩個表征其分布特性的數值參數——算術平均值（數學期望）和標準偏差σ（方差的平方根）。

2.4.4.2　隨機誤差的特性

服從正態分布的隨機誤差具有以下幾個特性。

（1）單峰性　絕對值小的隨機誤差比絕對值大的隨機誤差出現的概率大。從分布曲線及概率密度函數中也可以看出，在δ=0處存在一個峰值，表明絕對值為零的隨機誤差出現的概率最大。

（2）對稱性　絕對值相等、符號相反的隨機誤差出現的概率相等。

（3）抵償性　在相同的測量條件下對同一被測量進行多次重復測量，所有隨機誤差的代數和等于零。

（4）有界性　在一定的測量條件下，隨機誤差的分布范圍是有限的，即隨機誤差的絕對值不會超過一定的界限。

利用上述特性，可以用數理統計的方法分析、處理測量的隨機誤差，盡可能減小隨機誤差對測量結果的影響。

2.4.4.3　算術平均值

對于一定的測量方法，所對應的隨機誤差體現在各測得值中。也就是說，任何一次測量的結果都可能含有隨機誤差。那么如何獲得最可信賴即隨機誤差最小的測量結果呢？如果可以對被測量進行多次重復測量，得到一系列測得值xi=x0+δi（i=1，2，…，n），那么算術平均值

由于隨機誤差具有抵償性，當測量次數n→￥時，→0，因此→x0。

盡管實際測量中重復測量的次數n都是有限的（通常為幾次至幾十次），但由于在取算術平均的過程中仍可抵消掉一部分隨機誤差，所以在多次重復測量時，通常以測得值的算術平均值作為測量結果，稱為算術平均值原理。算術平均值也稱為最可信賴值。

2.4.4.4　標準偏差

概率密度函數反映了不同大小的隨機誤差出現的概率密度。對于某一種測量方法，正態分布概率密度函數中的標準偏差σ是唯一影響正態分布曲線形狀（測得值分散性）的指標。圖2-13給出了三個不同大小標準偏差的正態分布曲線。從圖中可以看出，σ越小，曲線越陡且峰值越大，表明測得值和隨機誤差越集中，分散性越小，測量的精密度越高；σ越大，曲線越平坦且峰值越小，表明測得值和隨機誤差越分散，測量的精密度越低。因此，用標準偏差可以表征測得值和隨機誤差的分散性。

正態分布曲線的分布中心對應于測得值的算術平均值（或真值），而標準偏差可以用來描述測得值之間及測得值對算術平均值（或真值）的分散性。

標準偏差是確定測量不確定度（極限誤差）的基本依據。某種測量方法的標準偏差既可按B類評定標準評定，也可按A類評定標準評定。實際中更多的是按A類評定標準評定的，即對觀測列進行統計分析來確定標準偏差，稱為實驗估計法。

標準偏差的實驗估計所用的公式為

該式也稱為貝塞爾（Bessel）公式。式中

vi稱為殘余誤差或剩余誤差（簡稱殘差）。它是在真值不能確定的情況下，為體現誤差的特性，用算術平均值作為被測量x的約定真值而引入的參數。殘余誤差有以下兩個性質。

（1）所有殘差的代數和等于零，即；

（2）所有殘差的平方和為最小，即。

殘余誤差的第一個性質可以用來檢驗算術平均值和殘余誤差計算的正確性。殘余誤差的第二個性質表明，以算術平均值作為測量結果比用任一個測得值作為測量結果更為合理。

單次測量的測得值是隨機變量，其分散性用單次測得值的標準偏差（即前面的標準偏差σ）表征。而由多個單次測得值計算得到的算術平均值也是一個隨機變量，其本身對真值也有隨機誤差，只不過分散性比單次測得值要小。如果在相同的條件下對同一被測量進行若干組“n次重復測量”，則可以發現各組測得值的算術平均值也不盡相同，表明各算術平均值對真值、各算術平均值之間也有一定的分散性（見圖2-14）。通過重復測量還可以發現，重復測量的次數n越多，算術平均值的分散性越小，算術平均值越接近真值。

算術平均值的隨機誤差（分散性）是用算術平均值的標準偏差（通常用表示）表征的。由概率論可知，算術平均值的標準偏差不僅與單次測得值的標準偏差σ有關，還與取平均的測得值個數n有關，它們之間的關系是

由式（2-10）可以看出，增加取平均的重復測量次數n，可以減小算術平均值的標準偏差（隨機誤差）。但在實際測量工作中n不宜過大，一方面當n大到一定程度后對的影響就變得不太明顯，另一方面過多的測量次數將會帶來更多、更大的測量誤差。通常n取幾次至十幾次為宜。

2.4.4.5　極限誤差

測量的極限誤差指的是測量誤差不可能超過的極限。由概率密度函數的定義可知，測量誤差落在任意區間［δ1，δ2］內的概率P［δ1，δ2］（圖2-15中陰影部分的面積）為

令z=δ/σ表示誤差對標準偏差的比值（倍數），則上式變成

若［z1，z2］取為單向區間［0，z］，如圖2-16（a）所示，則

若［z1，z2］取為對稱區間［-z，z］，如圖2-16（b）所示，則

Φ（z）稱為概率積分函數或拉普拉斯（Laplace）函數，其值只與z有關。部分Φ（z）及2Φ（z）的值列于表2-5中。

由上表可以看出，測量誤差落在［-3σ，+3σ］內的概率為0.9973，這相當于測量370次才可能有一次（概率為0.27％）測量誤差超出此誤差界限，而實際測量中的測量次數通常最多為幾十次，因此把［-3σ，+3σ］（或表示成±3σ）作為測量極限誤差，并用δlim表示，即

δlim=±3σ（P=0.9973）　　（2-15）

極限誤差所對應的誤差范圍±3σ稱為置信限（注：實際工作中也有采用其他置信限的），括號中的P稱為置信概率。

上面討論的是單次測得值的測量極限誤差。如果是多次測量，應該用算術平均值表示測量結果，其測量極限誤差為

2.4.4.6　測量結果的表示

測量結果的正確表示是應該給出被測量真值可能存在的范圍（而不是一個具體的量值），必要時還要給出置信概率。如果測量列中不含系統誤差及粗大誤差，則測量結果應如下表示。

單次測量時，應該用單次測量的測得值x表示測量結果，即

x0=x±3σ（P=0.9973）　　d（2-17）

它所表示的含義是：被測量的真值有0.9973的概率是在［x-3σ，x+3σ］的范圍內。

多次重復測量時，應該用多個測得值的算術平均值表示測量結果，即

它所表示的含義是：被測量的真值有0.9973的概率是在的范圍內。

例2-2　用立式光學比較儀對某零件的直徑進行了10次重復測量，10個測得值如下（mm）：22.0360、22.0365、22.0362、22.0364、22.0367、22.0363、22.0366、22.0363、22.0366、22.0364。假設測得值中已不存在系統誤差和粗大誤差，試給出該直徑的測量結果。

解：為便于計算，將有關數據列入表2-6中。

（1）計算測得值的算術平均值。

（2）估計單次測得值的標準偏差，并計算算術平均值的標準偏差。

（3）計算算術平均值的極限誤差。

（4）寫出被測直徑的測量結果。

2.4.5　系統誤差的處理

系統誤差以一定的規律對測量結果產生較顯著的影響。分析處理系統誤差的關鍵在于發現系統誤差，進而設法消除或減小系統誤差，以便有效地提高測量精度。

2.4.5.1　系統誤差的發現

（1）定值系統誤差的發現　定值系統誤差可以用實驗對比的方法發現，即通過改變測量條件進行不等精度測量來揭示定值系統誤差。例如，量塊按標稱長度使用時，由于量塊的尺寸偏差，使測量結果中存在著定值系統誤差。此時可用高精度儀器對量塊的實際尺寸進行測量，或用另外的高一級以上的量塊進行對比測量來發現量塊標稱長度所引起的定值系統誤差。

（2）變值系統誤差的發現　變值系統誤差可以通過對測得值序列的處理和分析觀察來發現。常用的方法是殘差觀察法，即將測量列（測得值序列）按測量順序排列或作圖，觀察各殘差的變化規律。若各殘差大體上正負相間，無明顯的變化規律，表示不存在變值系統誤差，如圖2-17（a）所示；若各殘差按近似的線性規律遞增或遞減，則可判斷存在線性系統誤差，如圖2-17（b）所示；若各殘差按近似的某一周期規律變化，則可判斷存在周期性系統誤差，如圖2-17（c）所示。顯然，在應用殘差觀察法時，必須進行足夠多次的重復測量，各次測量的時間間隔要均勻，測得值要按測量的順序組織，否則不能正確地判斷、發現測量列中的變值系統誤差。

2.4.5.2　系統誤差的消除

系統誤差從理論上是可以完全消除的，但由于許多因素的影響，實際上只能將其減小到一定程度而不能完全消除。常用的消除系統誤差的方法有以下幾種。

（1）從產生誤差的根源上消除　這是消除系統誤差最根本的方法。在測量前，應對測量過程中可能產生系統誤差的環節作仔細分析，將誤差從根源上加以消除。例如，測量前要仔細調整儀器的工作臺、調準零位、測量器具和被測件應處于標準溫度狀態、測量者要正對指針進行讀數等。

（2）用加修正值的方法消除　這種方法需要預先檢定出測量器具的定值系統誤差，取相反數作為修正值，用代數法加到實際測得值上，即可將定值系統誤差從測量結果中消除掉。例如，量塊的實際尺寸不等于標稱長度，若按標稱長度使用，就要產生系統誤差，而按檢定測量后的實際尺寸使用，就可避免此項誤差的產生。

（3）用兩次讀數法消除　如果可以測得兩個含有大小相等、符號相反系統誤差的測得值，那么可以通過將這兩個測得值取平均值的方法來消除系統誤差。例如，在工具顯微鏡上測量螺紋的螺距時，如圖2-18所示，若安裝后螺紋的中心線與儀器工作臺縱向移動方向不一致，則會使測得的左、右螺距不等于螺距的真值，一個產生正誤差（偏大），一個產生負誤差（偏小），而誤差的大小是相同的。這種情況下，可分別測出左、右螺距，取二者的平均值作為螺距的測量結果，即可消除因安裝方向誤差所帶來的系統誤差。

（4）用對稱測量法消除　對于線性系統誤差，可采用對稱測量法消除。例如，在進行比較測量時，若溫度隨時間線性變化，則產生隨時間線性變化的系統誤差，此時可采取下面的等時間間隔測量步驟：①測被測件；②測標準件；③測標準件；④測被測件。測量結束后，取①、④讀數的平均值與②、③讀數的平均值之差作為被測件尺寸相對于標準件尺寸的實際偏差，即可消除溫度變化所產生的線性系統誤差。

（5）用半周期法消除　對于某些周期性變化的系統誤差，特別是按正弦規律變化的系統誤差，因相隔半個周期的測得值所含有的系統誤差大小相等、符號相反，因此可以取這樣兩個測得值的平均值作為測量結果來消除此類系統誤差。

2.4.6　粗大誤差的處理

粗大誤差的特點是誤差的絕對值比較大，對測量結果產生了明顯的歪曲，因此必須從測量列中將含有粗大誤差的測得值剔除掉。剔除時不能靠主觀臆斷哪個測得值含有粗大誤差，而應根據誤差的特點用判別準則加以判斷。按照不同的測量特點，粗大誤差的判別準則有萊依達準則、肖維納準則、狄克松準則、格拉布斯準則等，其中最簡單、常用的是萊依達準則。

萊依達準則也稱為3σ準則。考慮到大部分測量的隨機誤差都是服從正態分布規律的，而服從正態分布的隨機誤差的絕對值超過3σ的概率只有0.27％，因此此概率可以認為不會有絕對值超過3σ的隨機誤差出現。如果測量列中已沒有系統誤差，則可認為凡是殘余誤差的絕對值超過3σ所對應的測得值都含有粗大誤差，應把這樣的測得值從測量列中剔除。3σ準則的判斷式為

|vi|>3σ　　（2-19）

2.4.7　測量誤差的合成

在具體的某項測量工作中，影響測量誤差的因素可能會有許多。這些因素按其性質、來源以不同的方式和程度影響著測量誤差。將各種因素的誤差按一定的原則或規律綜合成為測量結果的總誤差，稱為誤差的合成。

2.4.7.1　誤差傳遞的規律

設某項測量的測量結果y=f（x1，x2，…，xn），其中（x1，x2，…，xn）是影響測量結果的因素，則它們之間的誤差關系為

用微分的方式表示則為

由此可見，y的變化（誤差）Δy除了與xi（i=1，2，…，n）的變化（誤差）有關外，還與有關。稱為因素xi對測量結果y的誤差傳遞系數，用Ci表示，即

2.4.7.2　誤差合成的原則

分析測量結果的總誤差時，應根據誤差的性質對各影響測量結果因素的誤差進行合成。

（1）已定系統誤差的合成　已定系統誤差按代數和的原則進行合成，總的已定系統誤差等于各影響因素的已定系統誤差乘以誤差傳遞系數后的代數和，即

對于直接測量，取Cxi=1。

（2）隨機誤差的合成　隨機誤差按先取平方和再開平方的原則進行合成，總的隨機誤差等于各影響因素的隨機誤差乘以誤差傳遞系數后的平方和再開平方，即

在進行隨機誤差的合成時，各隨機誤差的置信概率必須相同（例如均為0.9973）。對于直接測量，取Cxi=1。

（3）未定系統誤差的合成　對于未定系統誤差，雖然它們影響測量結果的大小和符號都是確定的，但對于測量者是不知道的，測量者通常只能估計出這些誤差的極限范圍，因此一般把它們視為隨機誤差來處理，對這些未定系統誤差的極限值乘以誤差傳遞系數后先取平方和再開平方，即

對于直接測量，取Cxi=1。若同時存在隨機誤差和未定系統誤差，則可在置信概率相同的條件下把它們一概當成隨機誤差處理，合成為一個總的隨機誤差。

例2-3　用千分尺測量黃銅零件的直徑。已知測得值為60.125mm，車間（測量）溫度為23℃±5℃，等溫后零件和千分尺的溫差不超過1℃，千分尺零點不對，有+0.01mm的誤差。試估算總的測量誤差，寫出測量結果。

解：（1）估算各誤差因素的誤差

①測量器具（千分尺）的誤差。

已定系統誤差：

Δ已x1=+0.01mm

隨機誤差（來源于千分尺的不確定度，查有關資料獲得）：

δlimx1=±0.005mm

②方法誤差。

已定系統誤差：

Δ已x2=0

隨機誤差（根據經驗，用千分尺、游標卡尺等普通量具測量零件時，此項誤差約為不確定度的1/3）：

③溫度誤差。

已定系統誤差（因測量溫度偏離標準溫度20℃而產生）：

　　　　Δ已x3=L［（α2-α1）（t2-20）+α1（t2-t1）］

　　　　　　=60.125×［（18-11.5）×10-6×（23-20）+0］

　　　　　　≈+0.001mm

未定系統誤差（因測量溫度波動Δt≠0以及被測件與千分尺不等溫t2-t1≠0而產生）：

（2）進行誤差合成

總的已定系統誤差：

　　　　　Δ已y=Δ已x1+Δ已x2+Δ已x3

　　　　　　　=（+0.01）+0+（+0.001）=+0.011mm

修正值　　K=-Δ已y=-0.011mm

總的隨機誤差和未定系統誤差（極限誤差）：

（3）寫出測量結果

　　　　　　　y=60.125+K±δlimy

　　　　　　　　=60.125+（-0.011）±0.006=60.114mm±0.006mm

例2-4　在萬能工具顯微鏡上用弓高弦長法間接測量不完整圓弧樣板的半徑，見圖2-7（a），測得弦長l=40mm，對應的弓高h=4mm。已知測量弦長、弓高的系統誤差和隨機誤差分別為Δl=-0.002mm、δliml=±0.002mm、Δh=+0.0008mm、δlimh=±0.0015mm，試確定半徑R的測量結果。

解：　　

將l=40mm和h=4mm代入得

誤差傳遞系數

已知Δl=-0.002mm、Δh=+0.0008mm、δlimi=±0.002mm、δlimh=±0.0015mm，則

修正值

K=-ΔR=+0.0146mm

半徑R的測量結果為

R+K±δlimR=52+（+0.0146）±0.0187=52.0146mm±0.0187mm

由本例可以看出，雖然測量l、h的誤差都不是很大，但由于它們的誤差傳遞系數Cl、Ch比較大，所以它們對測量結果R的誤差影響比較大，導致ΔR、δlimR都比較大。因此，在間接測量中要特別注意選擇有利的測量條件，使誤差傳遞系數盡可能地小，這樣才能提高測量結果的精度。