第三章 負數

負數的產生

前面，我們已經提到，自然數與分數的產生，可以說都是很自然的事情。但是數的概念接下來的這一次擴展，就不再是自然的了。因為這需要人們突破0的障礙，認識到存在“比沒有還要少”的數。認識到這一點并不是一件容易的事。雖然在我們學過負數后，慢慢地就不再覺得它有什么特別奇特的，但是在此之前，如果問你：“有沒有比0更小的數？”你會覺得如何呢？你會不會感到有些困惑：“0就表示什么也沒有了，比0還小能表示什么呢？”；也許你覺得這實在是一個很傻的問題：比沒有還小怎么可能呢？確實，對于這種問題，恐怕沒有幾個學生會給出肯定的回答！對于古代人來說，邁出這一步就更是一件困難的事情了。

在西方圍繞負數存在問題的爭論曾持續了很長時間。

在西方數學史上，“代數學的鼻祖”丟番圖第一次引入了負數運算法則。他規定：消耗數乘以消耗數得到增添數，消耗數乘以增添數得到消耗數。如果把他所說的消耗數和增添數看作我們熟悉的負數和正數，那么可以認為他已經掌握了正負數的乘法運算法則。他還把這些法則應用到方程上面。他已經能識別方程的實根、有理根和正根，但是，他只接受正有理根，負根與無理根都被他忽略了。甚至當二次方程有兩個正根時，他也只給出較大的一個。

比如說丟番圖認為4=4 x+20

是一種不可能的類型，他認為所提的問題是荒謬的。

雖然存在著局限，丟番圖的思想在西方已是遠遠超越于時代了，以致于在他身后許多世紀后人們都未能接受他的觀念，事實上他的觀念被西方人慢慢地遺忘了。

丟番圖以后，西方在極長的時間內都沒有人再引入負數的概念。歐洲第一個給出負數正確合理解釋的是我們前面已經多次提到的意大利數學家斐波那契。他用負債對負數進行了解釋。但此后，歐洲大多數數學家并不因為他的這一解釋方式而改變對負數的態度。多數西方數學家仍對負數抱以排斥的態度，不承認它們是數，更不承認是方程的根。

下面我們可以羅列一些18世紀之前的西方數學家對負數的態度與認識。

15世紀的數學家N ·楚虧特將負數歸為荒唐的數。16世紀，“代數學之父”韋達還不承認負數的合法地位，并曾提出應把負數從數學中取消。他在解方程時，如果碰到了負數，就把它舍去。17世紀法國著名數學家帕斯卡也說：如果我們從0拿去4，那么0還會留下什么？他認為：“從0減去4純粹是胡說。”同時代的神學家兼數學家阿爾諾作過有趣的論證，認為如果承認負數，那么就會有這樣的式子：（-1）/1=1/（-1），小數與大數之比怎么能等于大數與小數之比呢？這是“不可思議的”。這一問題在當時竟然困惑了許多數學家。

除了對負數持完全排斥的這種態度外，當時人們的另一種普遍心態是既拒又迎的矛盾觀念。

德國數學家史提菲1544年發表的《整數算術》中引入了負數和負數運算。對負數，他把它看作實在的數來用，把負數命名為：比零小的數。這樣的名稱使許多與其同時代的人困惑了。他們認為，既然零表示什么也沒有，那么小于零就怎么也不可能。這就稍許影響了負數的普遍使用。他本人明顯地建立了負數的思想，并且作出了正數、負數的乘法和除法的表格。雖然運用負數，但他還是聲稱負數是“荒謬的”，只有正數才是真正的數。自零減去零上數所得到的是“無稽的零下”。關于零的問題他說，零是位于真正的數和荒謬的數之間。只是在某些情況下，他才承認負數存在的合理性：“正如我們想象一個數有不同的根，盡管它并沒有這些根，但是這樣想象對于在數學中應用高次冪是有益的；同樣地，我們想象比零還小的數也不是沒有好處的。”應該說，他是實用派。他接受負數是由于負數在數學的某些方面上是有用的。

還有一些數學家的對負數的矛盾態度表現為：同意把負數當作一種形式上的符號使用，但不承認它們是真正的數。如：16世紀意大利數學家卡爾達諾（對這位奇特的數學家我們還將在后面的章節中與他相遇）在解方程時把負數作為一種方程的解，但他認為這是作為一種不可能的回答，僅僅是一些記號。換言之，他認為負根是虛擬的，不是方程真正的根。當解方程中不得不面對它時，他就把它們視為一種有用的符號來使用。萊布尼茲對負數的態度同樣是動搖的，他一方面支持阿爾諾的反對意見，另一方面卻又承認式子 -1:1=1: -1在形式上是正確的。解析幾何創始人法國數學家笛卡爾，1637年建立了坐標系。負數本應由此非常自然地被引入，但事實卻并非如此。笛卡爾本人并不打算接受負數。他稱方程的負數根為“假根”，因為它們代表比沒有還要少的數，但是，他又指出給定一個方程，可以得到另外一個方程，使它的根比原方程的根大任何一個數量。于是一個有負根的方程就可以化成一個有正根的方程。基于這一點，他指出：既然我們可以把假根轉化為真根，那么負數也是可以勉強接受的，但他并不認為它們真正存在。至于如同我們現在所學習的那樣，將負數引入坐標系，使負數具有幾何意義，從而獲得實際解釋，那是后來的事情了。

事實上，在18世紀以前，明確表示承認負數，并認為它們在數學中有用的西方數學家是極為少見的。我們這里可以提到幾位。最早把負數單獨地寫在方程的一邊，在方程中出現負數的是哈里奧特，但他不承認負根。邦貝利給出了負數的明確定義，但他卻不能證明負數的運算法則。斯蒂芬在方程中用到了正數和負數系數并且承認負根的存在。他提出，負數在計算中有用，應允許負數作方程的根。1629年荷蘭的吉拉德則更進了一步，在他發表的《代數的新發明》一書中表明，他對負數的知識超過當時任何其他人。在書中他把負數和正數同等對待，等量齊觀，認為兩者都有同等存在的權利。他承認負根，如在二次方程的兩個根均為負數的情況下也給出兩根。他還在笛卡爾的《幾何學》之前八年便指出了負根在幾何中的應用，并曾推斷出n次方程有n個根的結果，但并無證明。

總之，雖然從1650年以后，人們對負數的運用已十分自由了。但在16、17世紀，在西方并沒有多少數學家心安理得地使用或者承認負數，更談不上承認它們可以作為方程的真實的根。當時的人對負數還存在一些古怪的認識。如在接受負數存在方面超過他所處時代的沃利斯認為負數大于無窮大同時小于零。他是這樣論證的：當 a是一個正數時，比值 a/0是無窮大，那么把分母變成負數，即在 a/b中，b為負數時，這個比就應該大于 a/0，因為分母比0要小，所以這個比就是大于無窮大的。可見，他對負數的概念和邏輯基礎都還不太清楚。

進入18世紀時還是有許多數學家們反對其應用。在18世紀，突出的反對者是英國數學家馬塞雷。

他在1759年發表的“專論在代數中使用負號”一文中指出如何避開負數（除了要表示從較小的數減去較大的數所得的差以外），尤其是避開方程的負根，他把二次方程仔細分類，使得有負根的方程單獨進行考慮；當然，負根必須舍去。對于三次方程他也同樣處理。然后他說到：“就我們所能判斷的而言，它們只會把方程的整個理論搞糊涂，而且把一些就其本質說來是出奇地明顯簡單的東西搞得晦澀難懂、玄妙莫測……因此很希望代數里決不容許有負根，或者說再一次把它們從代數里驅逐出去；因為如果這樣做了，那么就有很好的理由去設想，那些現在被許多知識淵博、機敏過人的人用來進行代數運算的、模糊不清并和一些幾乎是不能理解的概念糾纏在一起的東西，從此將從代數中清除掉；一定會使代數（或普通的算術），就其本性而言，在簡潔明了和證明能力方面，成為不亞于幾何的一門科學。”

除他外，法國著名幾何學家卡諾堅持認為，負數的使用將導致謬誤的結論。

18世紀偉大的數學家歐拉對負數持肯定態度。他在《對代數的完整介紹》一書中，證明了減 -b的運算等于加b的運算，因為“免除負債即意味著奉送禮物”。他還論證了（-1）×（-1）=+1：因為這個乘積必定是+1或者-1，但因為1×（-1）=-1，所以（-1）×（-1）=+1。但他對負數也還存在一些錯誤觀念。如他仍然深信負數比∞大。理由是因，所以當我們用比零小的數去分 a時，結果就要大于無窮。

理性時代的偉大學者之一達朗貝爾在《百科全書》一書中關于負數的表述，反映了他所處的時代人們對待接受這一帶來麻煩的新數的普遍態度。他說：“不管我們如何看待這些量，負數的代數運算法則已普遍地為人們所接受并被認為是正確的”“導致負數解的問題意味著假設的某些部分原本是錯誤的，但都被假定為正確的。”在他關于負量的論文中，他又說：“得到一個負數解意味著該數的反面（相應的正數）是所需的解。”

由此可見，即便是沒有多少人直接反對這種新型的數了，但由于負數缺乏嚴格的邏輯基礎，在整個18世紀它仍然是困擾著數學家們的一個難題。對負數的這種態度甚至延續到了19世紀。

1831年，倫敦大學數學教授、著名數理邏輯學家德·摩根在“論數學的研究和困難”中說：“虛數式和負數式 -b有一種相似之處，即只要它們中的任一個作為問題的解出現，就說明一定有某種矛盾和謬誤。只要一涉及到實際的含義，二者都是同樣的虛構，因為0-a和同樣是不可思議的。”

他舉一個問題來解釋他的話，父親56歲，他的兒子29歲，問什么時候，父親的歲數將是兒子的2倍？他解方程56+x=2（29+x），得 x=-2。因此他說，這個結果是荒唐的。接著他又說，但是，如果 x把換成-x，解方程56- x=2（29- x），我們就得到。他總結道，在解方程中出現負根是由于最初問題的提出就是錯誤的，解答為負數表明方程的列法是不正確的。當一個問題的答案是負的時候，他認為在產生這個結果的方程里變換一下x的符號，就可以發現形成那個方程的方法有錯誤，或可證明問題的提法大受局限，因而可以擴展，使之容許一個令人滿意的答案。他固執地認為考慮比0小的數是荒謬的。

但是，這種無視負數在廣泛場合應用的觀點已不再有更多的支持者。對負數存在合理性的異議之聲已日漸稀少了。到19世紀上半葉，人們對負數的認識已取得了較為一致的看法。

當我們回顧西方對待負數的態度的轉變時，我們注意到，1831年，數學王子高斯的一段總結性的話：“早年的代數學家叫方程的負根為假根，當與它們有關的問題是用這樣的方式來表達，即所求的量的性質不能有相反的量時，這個講法的確是真實的。然而，正如分數對許多可數的東西毫無意義可言，而我們卻在廣義的算術里毫不躊躇地就承認了它一樣，我們不應該只因為有無數的東西不許有其相反的量，就否認負數有同于正數的權利。因為在其他無數的場合中，負數也具有合宜的解釋，所以它的真實性就得到充分的佐證了。這些事情都早已得到承認了……”

這一段話，言簡意賅地說明了負數在西方開始被拒絕的原因與后來又被接受的理由。西方人開始時不能接受負數，是由于在眾多場合下負數是沒有意義的。比如一個方程的未知數代表的是正方形的邊長，那么如果方程的解是負數，我們就理所應當地拒絕承認這一解答結果，正如我們現在所做的那樣將其舍去。這樣做是完全合理的。但是負數在某些場合下沒有意義，并不是我們否認它存在的理由。因為“在其他無數的場合中，負數也具有合宜的解釋”。隨著數學的發展，負數可以應用的場合越來越多，并且這種應用的結果總是成功的。這樣，負數的“真實性就得到充分的佐證”。西方多數人對待負數的態度也就經歷了：由拒絕，到心存顧慮的把它看作是形式上有效的符號，到最后的承認。可見，西方人對負數概念的接受是非常緩慢的過程。隨著負數應用場合的日漸擴大與應用方面的成功，負數概念本身才被認可。

當我們把目光轉向東方時，我們會驚訝地發現東西方對負數概念的認識上，形成了一個非常鮮明的對照。

在我國，負的本意是虧欠、虧損之意。負數出現的初期正是與計算結果出現虧欠或者不足，以及因某種過失而受到處罰等實際生活中的事例有關，常和“少”“負”等詞相聯系的。現代出土的漢簡中的有關例子反映了負數的這種早期形態。可見，在我國負數的出現和發展有著深刻的社會背景，負數概念正是從“少”和“負”等實際應用事例中抽象出來的。事實上，在這些早期漢簡中不僅有了負數的概念，而且包括了負數加減運算的例子。經過進一步的實踐與認識的提高，到最遲成書于公元1世紀下半葉的古代數學名著《九章算術》一書中，我國形成了對負數概念的明確認識。在這部書的“方程章”中，提出正負數的概念。書中明確指出，如果“賣”是正，則“買”是負；如果“余錢”是正，則“不足錢”就是負。這正是通過生活中的實例對負數概念進行合理的解釋。到公元263年，我國數學家劉徽注釋《九章算術》時進一步指出：兩算得失相反，要令“正”、“負”以別之。這是劉徽給出的負數定義。其意思是說，在列方程時，由于所給數量可能具有相反意義，因而不但需要正數，還需要引入負數以作區分。這個定義表示，正負是互相依存的，相對的。正是相對于負而言為正，負是相對于正而言為負，它已經擺脫了以盈為正，以欠為負的相互觀念，非常抽象。

與中國相類似，古印度也較早提出了負數概念。公元628年印度數學家婆羅摩及多用“財產”表示正數，用“欠債”表示負數。他也是在用生活中的實例來闡明負數的概念。12世紀印度數學家婆什迦羅進一步討論負數，他把負數叫做“負債”或“損失”。由此可見，印度對負數的引入也是由于認識到在生活中存在著相反意義量，出于實踐的需要，為了解決實際問題，從而提出了與正數相對應的負數概念。

由此可見，在東方引入負數概念時沒有經過太大的周折，人們很早就形成并接受了負數的概念。如上所述，我國至遲到1世紀下半葉時，有了明確的負數概念，到3世紀時我國數學家對負數概念的理解已是非常成熟。對晚于我國的古印度來說，到7世紀時已有了明確的負數概念。而前面我們提到負數概念在西方被認可卻經歷了極長的時間。兩相對照，我們實在有必要問一下：導致這種巨大差別的原因究竟是什么呢？這種差別是如何造成的呢？東方在接受負數概念上為什么能夠領先西方如此早呢？下面，就讓我們去探究其中的幾點原因吧。

在我國，有幾方面原因對負數概念的提出起到了促進作用。

先來看看社會因素。我國到漢朝時社會生產力大大提高。現實生活中具有相反意義的量不斷出現，引發了人們對正、負數的思考；實踐中提出眾多的與負數有關的問題，使負數概念的產生成為一件必要的事。從現存的西漢時期的漢簡中可以得到證實。

此外，由于實踐的需要，在秦漢時期我國實際生活中已經提出了許多需要借助于一次多元方程組才能解決的問題。為了解決實際的需要，布列并求解一次多元方程組已是不可回避的重大課題。正是對這一問題的研究，為數學內部產生出負數概念提供了直接的推動力。

前面我們已經提到，我國古代傳統數學到明代以前都是運用算籌進行計算的，中國古代的籌算決不限于簡單的數值計算，而是發展了一套內容十分豐富的“籌式”演算，這些演算實際上可以看作是一套程序化的算法。

對于多元一次方程組也不例外。古代中國數學家為了解決這類問題，先將有關數據按一定的規則排列成為一個數碼方陣，稱之為“方程”（注意，在我國古代，“方程”是特指我們現在的多元一次方程組，或線性方程組），隨后規定了一套解的方法，或說算法，這種算法類似于現在所謂矩陣初等變換。這種算法需要在“方程”中進行兩行之間的相加或相減，這就不可避免要碰上小數減去大數的情況，如果不引入負數，那么整個算法就不能保證順利進行。換言之，在解題過程中為了消元，當減數大于被減數時在正數范圍內的減法運算就不能通行無阻，因而負數的引入勢在必行。而要保證這種機械化的算法能暢行無阻，就必須引進負數和建立正負數的運算法則。由方程章所給出的多元一次方程組的解法引入負數概念在我國是很自然的事情。

另外，我國古代方程術是為了解決更多的實際問題。倘不引入負數，對社會所提出的許多問題就無法列出方程組，從而也就無法借助于布列方程組的方法給以解決，或者說，方程術就只能應用于很少一部分方程。這樣，所謂的方程術在應用的廣泛程度方面必將受到重大影響。這也使得方程組中方程的系數出現負數是必要的。

換言之，我國是在引入一次多元方程組的過程中與負數概念正面相遇的。正是多元一次方程組的引入與求解，促使我國古代較早接受了負數的存在。

以上兩點，是我國很早引入負數的數學內部因素。

另外，我國數學家具有的實用態度也是重要原因。東方數學比較注重實用，而不太注意邏輯的嚴密性。我國最早產生負數是為了解決生活中越來越多出現的虧欠、負債等現實問題，是實踐的需要。實際的需要是提出負數的依據，負數應用的成功提供了對負數引入最好的支持與保障。在東方，人們對有用的就引入使用，并沒有糾纏于負數存在的邏輯基礎問題，或過多考慮其中可能存在的更深刻的矛盾。在下一章中我們還將更深入地介紹這一點。

再有一點需要稍微提及的是，我國傳統哲學中的辯證觀念也深刻影響了我國對負數概念的深刻理解。我國傳統哲學注重陰陽對立，矛盾雙方相反相成等觀點。劉徽接受并將這些觀念運用于數學中。在正負數上，劉徽就是從陰陽對立雙方相反相成的觀點出發進行論述的。

比如他在方程章正負術注文中指出：“凡正負所以記其同異，使二品互相取而已矣。言負者未必負于少，言正者未必正于多。故每一行之中雖復赤黑異算無傷。”在這些話中，劉徽指出了：正與負是相對的，稱“負”的未必就是少，稱“正”的未必就是多，所以稱之為正與負，不過是為了區分具有相反意義的量使它們互相取用而已。就是說，劉徽認為方程中，負數不一定表示少，正數不一定表示多，因此，不僅一行中可以正負數交錯，而且消元時，可以使參與消元的兩行相應的項異號（如同號，可使其中一行所有系數統統改變符號，相當于以 -1遍乘）。為了消元的方便，每一行的符號可以根據需要確定。由此，兩行相減可以變成相加。這實際上是從非數學角度說明了我們所熟知的結論：方程每一項都改變符號，整個方程不變。

正是由于劉徽注重從陰陽對立雙方的相反相成的關系中觀察問題，才使他對正負數的認識完全擺脫了以收盈為正、支付為負的具體生活意義而進入到揭示其本質的理性抽象，才會對負數做出前面我們提到的定義“今兩算得失相反，要令正負以名之。”這種對正負數的認識，如同蘇聯著名數學史家尤什凱維奇在《中國學者在數學領域中的成就》中指出的，它“超出了其他國家的科學幾世紀之久”，如比劉徽晚得多的印度婆羅門笈多當時對負數的認識還僅停留在“負債”等具體生活意義的水平上。

與我國相對照，有利于引入負數的條件在西方卻都不具備。

在西方，早期研究的是一元多次方程問題。在這類方程的求解中，負數是可以通過某種方式回避開的。他們在早期并沒有研究一次多元方程組問題，這就缺乏了直接面對負數的機會。因此，西方失去了在數學內部產生負數的最大可能。

此外，部分西方數學家囿于舊有的觀念，無法接受當負數引入數學中后，出現的一些奇妙結論。比如說，小數可以減大數，兩數相加可能越加越小，小數比大數等于大數比小數等等。這在負數引入之前都是不可想象的事。由于無法接受負數的這些奇特性質，負數在西方引入過程中迎來的是更多的反對聲。

不過，更為重要的原因或許在于東西方在數學基本觀念上的差別。西方數學家繼承了古希臘的數學傳統，不像中國數學家那樣注重實用，而是比較強調嚴密的邏輯。因而，雖然西方人也會經常面對生活中具有相對意義的量，他們的數學觀念卻阻礙了他們從實踐中產生出負數概念的可能。可以說，正是西方數學傳統中具有的對邏輯嚴密性的情有獨鐘的傾向，阻礙了西方人對負數的認可。于是在負數嚴格的邏輯基礎并未能建立起來的19世紀之前，眾多著名的西方數學家只能在如下意義上接受負數：負數具有形式上的意義，而沒有什么真實的內容，負數并不是真正的數，負數與負數的運算式子不過是為了應付數學運算的需要而構造出來的。當負數在解決實際問題與數學本身問題中已顯出日益重要的作用時，許多西方數學家對待負數的態度上仍然抱有矛盾心態。事實上，對于有用但卻缺乏嚴格邏輯基礎的數學對象抱一種矛盾的心態在西方數學家身上是很普遍的事情。由于某些數學對象有用，在數學中也往往無可避免，于是他們不得不使用。但他們的這種使用是不情愿的，始終抱著一種懷疑的態度。隨著這些數學對象使用場合的日益增多，實用派在某一階段后就開始占據上風。但在嚴格的邏輯基礎建立之前，懷疑與反對的聲音始終不會停止。

正因此，西方負數概念產生并被接受是如此晚的事情也就不難理解了。

以上我們所涉及的主要是東西方在對待負數概念方面存在的巨大差異。如果我們把目光轉向負數的應用范圍上時，我們將發現東西方卻有著非常相似的地方。

我們前面已經提到過，西方對方程的負根是不承認的。在這一方面，我國的做法是完全相同的。從產生負數的公元1世紀到我國數學最鼎盛的宋元時期，在對待方程的負根方面是一致的，即不承認負根。事實上，到宋元時期當數學家已經能夠解決高次方程的求解問題時，他們所求得的解還只是正根，即便有多個正根時，也往往只求出其中的一個正根。對負根更是根本不去考慮的。因而，我們說在對待負根上，我國古代也沒有向前邁出一步。

12世紀印度數學家婆什迦羅首次邁出了一小步，他指出：“正數、負數的平方為正數；正數的平方根有兩個，一正一負。”然而，在具體使用負數時，他還是有顧忌的。如在給出一個問題的兩個解是50和-5時，他說：“這里第二個根不適宜，因為人們不贊成負數的解，故棄去。”他承認二次方程有兩個根，但當負根出現時，他總舍去不用。可見，他在處理負根方面還遠遠沒有我們現在如此隨便。

此外，我們現在對方程系數的正負并不作區分，是同樣對待的。比如說，二次方程的一般形式我們可以記作 ax2+bx+c=0其中的系數a、b、c可正可負，就是說我們對系數的正負是一視同仁的。然而，在古代，無論東西方，邁出這一步都是非常不容易的事情。

在西方，代數學之父韋達最早引入新型的代數，即字母系數，正如我們現在所使用的那樣。事實上，正是由于在字母系數上做出的這一極為重要的貢獻，使他獲得了代數學之父的稱號。但令我們感到驚訝的是，他拒絕用字母系數表示負數。當然，他對負數的否認態度我們前面已經提到過了。這揭示了即使人類最優秀的頭腦，也存在著嚴重的局限性。直到1657年，赫德才允許了字母系數既可以代表負數，又可以代表正數，從此以后，西方數學家們才開始自由地使用它。

在我國，雖說《九章算術》中就已經引入了負數，但是直到12世紀北宋數學家劉益引入負系數開方式之前，在數學著作中，負數僅用于方程術即線性方程組解法。如《九章算術》中說“如方程，以正負術入之”。

我國在處理一元高次方程上情況與西方大體相同。當面對一元高次方程時也是要求各項系數為正。直到1113年宋代的劉益才提出正負開方法。楊輝曾對此評價說：“引用帶從開方、正負、損益之法，前古之所未聞也。”“帶從益隅開方，實冠前古”。不過，劉益所做的還只限于允許最高項的系數為負。此后，我國古代開始研究方程系數為負的情況。先是最高次項系數可負，后來次項系數也可以為負數。到秦九韶時，為了解方程的方便，他把方程寫成我們現在一邊是一個多項式，另一端為零的形式。并且他明確規定“實常為負”，即規定常數項總為負值。直到數學家李冶時方程的各項系數、常數項才被允許都可正可負。古代對待負數的敏感與小心翼翼的態度還表現在解方程中。現在，我們解方程時對過程中系數符號的變化根本不去注意，事實上也沒有必要注意，但在古代卻不是如此。當時對解方程過程中系數符號的變化是特別注意的。對解方程過程中出現的特殊情形，分別起了一些名稱。比如，前面提到劉益推廣傳統的帶從平方到“負方”和“益隅”兩個類型，并且提出在開方過程中，有時須要“翻積”，使數字二次方程的解法獲得更進一步的發展。秦九韶在解方程中，當常數項改變了符號，即由他所規定的為負變為正，他稱為換骨；當符號不變而絕對值加大時稱為投胎。李冶時又研究了更多的情況，如倒積倒從等。到朱世杰時對這些變化都不再明白指出。這樣，到宋元時期我國古代數學家已掌握了任意數字方程正根的方法。由這種緩慢的進步中，我們能夠看到一項突破性的成果的獲得在歷史上是何等的不易，即便這項成果在現在看來是非常的簡單。

由此可見，對負數可以應用的場合問題，無論東方還是西方都經歷了一個慢慢地發展過程。負數作為方程的系數與負根的接受都是緩慢的。對此，我們來探究一下其中的原因。

第一點，由于幾何圖形具有明顯的直觀性，因而在古代把代數問題轉化為幾何問題是非常普遍的傾向。事實上，西方早期的代數大多時候是幾何的附屬。對于我們所熟知的代數結論，當時都是用幾何方法來表示與證明的。因而，西方代數被稱為“代數幾何”。在我國傳統數學中，本質上并不存在代數與幾何的嚴格區分。在絕大多數場合，二者是結合在一起的，這兩方面的問題、方法以及相關的概念交織在一起，成為獨具特色的中國傳統數學理論體系中引人注目的特征。形數結合是中國傳統數學的基本方法與思想。從現傳最早的關于三次方程的專著、唐初王孝通《緝古算經》，直到12世紀天元術創立以前，建立代數方程時一直要求對各項系數給出幾何解釋，而這一傳統正是從劉徽開始的。在建立二次及三次方程時，這種形數結合的方法是頗具啟發意義的，尤其是在缺乏適當的代數符號的情況下，借助幾何意義建立代數方程和對解題過程提供解釋幾乎可以說是條必由之路。

在這種情況下，方程的系數就與幾何量聯系在一起了。正是由于對古代許多民族來說，數是與距離、面積和體積的量度緊密聯系的。代數的法則通常用幾何的術語進行思考，諸如將各種面積拼補粘合。而距離、面積、邊長、體積等等幾何量當然不可以取負數。因而不把-5這樣的對象看做一個數是有相當理由的。

事實上，我們對方程系數可為負數的研究，正是北宋賈憲等人脫離開方的幾何直觀，從二項式系數找出數值規律，創立了可開任意高次冪的“增乘開方法”之后才開始的。從此之后，人們可以自由地造出一些與實際無關的方程了。當人們向壁虛構方程時，意味著數學向抽象化方向邁出了一大步。

古代排斥負數的另一個重要原因是，在古代，無論東西方，所面對的方程往往都是實際生活中所產生的問題。它具有實際意義。在這種情況下，得到方程的負根，往往就不合乎題意，而要舍去。這正如我們解應用題時所做的那樣。根據應用題，先是列出方程，解方程，最后得到解以后，要根據實際情況驗根。負根大都是不合要求的，要舍去。簡言之，在當時方程的負根確實沒有什么實際意義。因而被人們所拋棄是正常的。負根具有的重要意義，是在數學自身發展中顯現出來的。

在古代，人們列方程、解方程都是與生活中提出的實際問題相聯系的。因而人們對負根的舍去就是自然與合理的了。只有當后來，人們解方程不再與實際問題直接相聯，而是為解方程而解方程，就像為數學而數學，為藝術而藝術一樣后，才開始從理論角度考慮方程根的情況。這時，方程的負根才被認可。

從這一問題的探討中，我們可以說為數學而數學的態度也是完全必要的。這是數學發展到一定時期的必然結果。它對數學自身的發展來說也是極其重要的。

在轉入負數運算的討論之前，我們再簡單介紹一下負數的記法。

劉徽在注文中給出了表示負數的巧妙而有效的辦法。他說：“正算赤，負算黑。否則以邪（斜）正為異。”意思是說，用紅色的算籌表示正數，用黑色的算籌表示負數。如果用同色籌，就用正放著的算籌表示正數，斜放的算籌表示負數。用這樣的方法來區別正負數。

為了區別正數與負數，還有在數的上面放置箭頭，并使箭頭成為相反的方向等方法。

另一方面，在17世紀的吉拉德就開始用減號來表示負數。到18世紀時，在代數中應用負數（用負號作標記）最終流傳開來，