小結

在走過這一站后，讓我們再來歇歇腳，同時回顧一下我們一路上所見的風光。

首先，我們去了解了分數的幾種不同來源方式。不同的民族對分數的引入方式不同，認識也不同。古埃及人引入了單分子分數；古巴比倫人引入的是六十進制分數，這一用法至今仍保存在時間的表示與天文學中；古希臘人一開始是把分數作為整數的比看待的；相比而言，我國對分數的認識更完整一些。在這一部分中，我們還簡單介紹了分數記法的演變過程。事實上，很多數學符號大都經歷了一個復雜與漫長的演變過程，才最終成為現在人們所通用的形式。

隨后，我們介紹了分數的運算。在這一方面，我國也是遠遠走在了世界其他民族前面。在談到這一現象的原因時，我們可以簡單提到天文學對中國古代數學的巨大推動作用。可以說，中國數學的早期發展是同天文學研究的需要密切聯系在一起的。最早熟練運用分數運算的《周髀算經》就是一部天文數學著作。由于“中國古歷法所有天文數據基本上都用分數表示，分數運算成為古歷法中一很大項目。”這促使分數算法在我國“早熟”。

另外，正是由于我國對分數的認識與運算的熟悉，才使我國在其他數學研究方面也能夠走在其他民族前面，因為正如前面已經提到的，分數還是研究其他數學問題必不可少的工具。

在第二節中，我們提到了幾種特殊的分數。

首先，我們重新認識了一下埃及分數。在此之前，我們提到它時，說它由于運算的煩瑣，導致埃及數學不能得到進一步的發展。但由它引出的有趣問題卻吸引了眾多的業余與專業數學工作者，使它至今仍保持著旺盛著生命力。

隨后，我們介紹了我們所熟知的小數。我們已經指出，應用起來比較方便實用的小數只是十進分數的一種方便表示法而已。但它的產生與現代記法的出現，正如前面已經提到的，也是經歷了漫長的時間。

對此，你也許能聯想到位值制的產生吧。兩者對于我們來說都是顯而易見的，但在歷史上卻都經歷了長期的認識過程。

之后，我們介紹了一下近似分數。當回顧這一部分內容時，有幾點想法需要再提一下。

其一，數學與實踐是密切相關的。因此，當實際生活中人們提出對方便實用的近似分數的需求時，如何求得更好的近似分數就成為數學中的一大課題，并發展出與之相關的丟番圖逼近的數學分支。數學必須密切聯系社會實踐。數學的發展，雖然它前進的每一步不一定都需要社會實踐所提出的各種要求的直接推動，但是數學要想從根本上得到不斷的發展，那就非密切聯系實際不可。數學發展的無數事例都證實了這一點。當然，數學也具有相對獨立性、具有脫離實際的特征，這一特點越到數學發展的后期表現得越明顯。在后面的章節中我們會看到這一點。

其二，數學的發展是和其他科學的發展密切相關的。在這一節里我們看到了我國古代數學與天文歷法推算之間的密切聯系。事實上，我國古代許多數學家同時都是天文學家。許多數學問題或方法都是在天文歷法的探討中提出并得以解決的。加成法的使用就是其中的一個例證。正是由于調整歷法數據的要求，歷算家發展了分數近似算法：加成法或稱“調日法”，從而在數的有理逼近方面達到很高的水平。在現代，數學與其他科學的關系問題仍是一個引起爭論并值得認真探討的問題。

實際上，通過以上兩點，我們已經涉及到了一個重要的、并且并不容易解答的問題。這個問題是：如何理解數學的獨立性？數學的發展是由外部因素造成的呢，還是由內部因素造成的呢？

最后，在走過第一站“自然數”與第二站“分數”后，我們打算把兩者放在一起做一個簡單的總結。

我們先來看一下，這兩者的一個重大區別。我們知道，存在著無窮多個整數，也存在著無窮多個分數。但是整數之間的間隔較大，其實每個間隔就是一個單位，而有理數則是稠密的；也就是說，在任何兩個分數間，無論它們離得多么近，我們總能找到另一個分數界于它們之間，其實我們不是能找到一個而是無窮多個。我們將在后面章節對這個問題做進一步的闡述。另一個極其有趣，也極容易令人感到困惑的問題是：同是無窮多，它們能否比較多少呢？如果能的話，又需要用什么方法比較呢？這個問題我們也將在后面加以探討。

另外，需要提到的是，在走過這兩站后，現在數的范圍已經擴充到了正有理數與零。在完成了這一步數的擴充后，我們就能夠完成更多的事情了。如我們從數的運算角度來看一下。在自然數范圍內，我們對任意兩個自然數進行加法與乘法運算結果仍然是自然數。這種性質在數學上稱為自然數的加法、乘法具有封閉性。顯然，自然數對除法運算就不具有這種封閉性，即任意兩個自然數的商不一定再是自然數。但當把數從自然數擴充到正有理數與零時，關于除法的封閉性也獲得了滿足。即任意取兩個正有理數，只要分母不為零，那么其除法運算的結果仍是正有理數或零。這正是數的擴充給我們帶來的好的結果之一。

還需要指出的一點是：上述數的擴充過程是自然的，而后面我們將要提到的數的進一步擴充就不再是那么自然的了。你在下一章馬上就能注意到這一點。