第一部分 基礎

第1章 這個墓穴埋葬著丟番圖

在很多個世紀以前的古亞歷山大，一位老人埋葬了自己的兒子。這位心碎的老人為了轉移自己的悲傷，開始整理大量的代數問題，并將這些問題及其解法匯編成書，取名《算術》（Arithmetica）。這些就是人們對亞歷山大的丟番圖幾乎所有的了解，而這些了解絕大多數來自其好友在他去世后不久所寫的一個謎題：

行人啊，請稍駐足，這里埋葬著丟番圖。上帝賦予他一生的六分之一，享受童年的幸福；再過十二分之一，兩頰長胡；又過了七分之一，燃起結婚的蠟燭。愛子的降生盼了五年之久，可憐那遲來的兒郞啊，只活到父親歲數的一半，便進入冰冷的墳墓。悲傷只有通過數學來消除，四年后，他自己也走完了人生旅途。

這篇墓志銘對丟番圖兒子的死亡說得不是很清楚。其中提到，他只活到了“父親歲數的一半”，但這是指兒子死時父親年齡的一半，還是指他父親壽命的一半？不論怎樣理解，都可以解答。但如果是后一種理解“只活到他父親壽命的一半”，我們得出的歲數會是一個漂亮而又簡潔的整數。

我們假設丟番圖的壽命為x。丟番圖生命中每個時期的年數要么是他壽命的幾分之幾（例如，x除以6是他的童年時光），要么是一個整數（例如，從他結婚到兒子出生有5年的時光）。丟番圖生命中所有時期的年份之和為x，所以這個謎題可以用下面這個簡單的代數式來表示：

所有分母的最小公倍數是84，將等號兩邊同時乘以84得到：

14x+7x+12x+420+42x+336=84x

分別整理帶有x的項和常數項，得到：

84x-14x-7x-12x-42x=420+336

即：

9x=756

方程的解是：

x=84

所以，丟番圖的童年時光是14年，7年后他長大成人。又過了12年，在33歲的時候，他結了婚，5年后有了兒子。兒子死于42歲，丟番圖當時80歲，4年后丟番圖去世。

事實上，有一個更快捷的方法來解這個謎題：如果深入探索出題人的內心想法，你就會發現他并不想用分數來增加麻煩。丟番圖壽命的“十二分之一”和“七分之一”必然是整數，所以他的壽命年數一定可以被7和12整除（自然也會被2和6整除）。只需將12乘以7就能得到84。這個看起來也像是合適的高齡歲數，所以它極有可能是對的。

丟番圖去世時也許是84歲，但是對于歷史來說，更重要的問題是找到具體時間。人們曾經猜測，丟番圖的時代是在公元前150年到公元280年之間，那是一個令人向往的時期。這樣的話，丟番圖就活在歐幾里得（活躍在約公元前295年）和埃拉托色尼（約公元前276—前195年）等早期亞歷山大數學家們之后，這也說明他與亞歷山大的海倫（活躍在公元62年）處于同一時期。海倫的著作涉及了力學、氣體力學以及自動控制，他似乎還發明了一種原始蒸汽機。丟番圖也許還認識那位憑著作《天文學大成》而被世人銘記的亞歷山大天文學家托勒密（約公元100—170）。那本書包含了世界上第一個三角函數表，并且建立了直到十六七世紀哥白尼革命時才被推翻的描述天體運動的數學。

不幸的是，丟番圖也許從未見過這些亞歷山大的數學家和科學家們。過去一百多年來，古典學者們之間的共識是，丟番圖大約活躍在公元250年，他現存的主要著作《算術》很可能也追溯到那個時期。這樣的話，丟番圖的出生時間大概是在托勒密去世時間的前后。曾經編輯了權威的希臘版《算術》（1893~1895年出版）的保羅·塔納里注意到，這本書寫著獻給“尊敬的狄奧尼修”。雖然這是一個常用名，但塔納里猜測，這個狄奧尼修就是那個曾在公元232~247年擔任亞歷山大傳道學校校長，以及之后在公元248~265年擔任亞歷山大主教的狄奧尼修。因此，丟番圖可能是個基督徒。如果是這樣，下面這一事實就有點諷刺意味了：對《算術》的一個早期但遺失了的評注是由塞翁的女兒希帕蒂亞（約公元370—415）所寫的，她是亞歷山大最后一位偉大的數學家，后來被一幫反對她“異教徒”哲學思想的基督教暴徒殺害。

古希臘數學家在幾何學和天文學領域一直是最強的。丟番圖在種族上是希臘人，但與眾不同的是，他用“數字的科學”，即我們所知的代數，來緩解兒子去世的悲痛。他似乎是代數上很多創新的源頭，包括他在問題中使用的符號和縮寫，這標志著數學問題從文字描述到現代代數表示法的轉變。

《算術》的6本書（原來是13本）中羅列的問題一道比一道難，大部分都難于求解丟番圖年齡的問題。丟番圖的問題常常含有多個未知量。他的一些問題是不定的，也就是說這些問題通常有多個解。《算術》中只有一個問題不是抽象的，也就是說其他問題都是絕對數字化、不指代現實事物的。

丟番圖提及的另一個抽象元素是冪。那個時候，數學家們已經熟悉了平方和立方。平方用來計算一個平面圖形的面積，立方用來計算一個實體的體積。但是丟番圖將高次方引入了他的問題：4次方（他稱為“平方-平方”）、5次方（他稱為“平方-立方”）和6次方（他稱為“立方-立方”）。丟番圖知道，這些冪與現實沒有關聯性，并且他也不在乎這種數學的實用性。這是純粹的娛樂性數學，僅僅用來強化思維，沒有別的目的。

這里列舉第4本書中的第一個問題。丟番圖先是概括地闡述了：

將一個已知數拆分成為兩個立方體的體積，并且這兩個立方體的邊之和等于另一個已知數。

接著給出了例子：

已知數為370，邊長之和是10。

將這個問題用圖表示后可見，他需要處理兩個不同邊長的立方體。現代代數學家可以將這兩個立方體的邊標記為x和y：

這兩條邊加起來為10。這兩個立方體的體積之和（x3和y3）是370。我們現在寫下兩個等式：

x+y=10

x3+y3=370

由第一個等式得出，y等于(10-x)，將其代入第二個等式：

x3+(10-x)3=370

展開(10-x)3，我們希望立方項最終可以消失：

x3+(1000+30x2-300x-x3 )=370

很幸運，立方項消失了，經過整理后可以得到：

30x2-300x+630=0

等式左邊的3個數有一個公因數，所以可以同時除以30：

x2-10x+21=0

現在，這個問題基本解決了。你有兩個選擇。如果記得二次方程的求根公式注就可以直接使用它；或者，如果你曾經練習過求解類似的方程，就可以一直盯著它思索，直到它自己神奇地分解成

注對于ax2+bx+c=0，解為x=。

(x-7)(x-3)=0

因此兩個邊的長度分別為7和3。的確，這兩個邊加起來等于10，它們的立方（343和27）和等于370。

丟番圖并不像你我這樣解決這個問題，他確實不會。盡管丟番圖的問題經常涉及多個未知數，但是他的記號只允許他表達一個未知數。他用了一個巧妙的方法彌補了這一點。他沒有將兩個立方體的邊長標記為x和y，而是標記為(5+x)和(5-x)。這兩個邊長可以用一個未知數x表示，并且加起來確實等于10。接下來，他就可以將這兩條邊進行立方運算，相加后等于370：

(5+x)3+(5-x)3=370

這個式子看起來比我們的糟，但是如果展開這些立方，一些項便會迅速消去，只留下：

30x2+250=370

合并同類項，方程兩邊再同除以30，進一步化簡為：

x2=4

即x=2。因為兩條邊是(5+x)和(5-x)，所以這兩條邊是7和3。

丟番圖用來解決這個問題的方法比現在學生用的方法輕松，他神奇并正確地將兩個邊長用一個未知數表示。這個方法會適用于下一個問題嗎？也許可以，也許不可以。建立解決代數方程的通用方法確實不是丟番圖所要考慮的。正如一位數學家論述的：“每一個問題都需要一個十分具體的方法，這個方法通常連最類似的問題都不適用。這使得現代數學家即使在研究了100道丟番圖問題的解答后，還是很難找到解決第101道題的方法。”

當然，丟番圖在展示這個立方之和為370、邊長之和為10的問題時，顯然并不是隨意選取某些數字，他知道這些假設條件將會導出一個整數解。實際上，丟番圖方程就是指只允許整數解的代數方程。丟番圖方程可以有很多未知量，這些未知量可以帶有整數冪，但是它的解（如果有）總是整數。盡管丟番圖經常使用減法來命題，但是他的解從不涉及負數。“對于一個沒有用任何正整數相減就得到的負整數本身，丟番圖顯然沒有任何概念。”任何一道問題也不會包含有0的解，古希臘人不將0考慮在內。

現代讀者們，特別是那些已經默認了丟番圖問題只有整數解的人，在遇到丟番圖問題中的有理數時也許會有點吃驚。有理數之所以這樣命名，不是因為它們在某種程度上符合邏輯，而是因為它們可以表示為兩個整數的比。例如：

就是一個有理數。

在《算術》中，有理數只出現在涉及現實物體的問題中，特別是那些一直被大家津津樂道的問題：飲料和德拉克馬（古希臘貨幣）。雖然從這個問題的描述里看不出來，但是有理數在這個解中是必需的：

一個人買了若干份酒，有些單價是8德拉克馬，有些是5德拉克馬。他為這些酒支付的德拉克馬是個平方數，如果這個數再加上60，結果還是一個平方數，該平方數的根是這些酒的份數。求兩類酒他各買了多少。

這里的“平方數”是指一個數與它自身的積。例如，25是一個平方數，因為它等于5乘以5。

在進行了一整頁的計算后，它揭示了單價5德拉馬克的數量是一個有理數：

單價8德拉馬克的數量也是一個有理數：

我們檢驗一下這個結果。（檢驗這個結果要比推導它容易得多。）如果你用5德拉馬克乘以79/12，然后加上8德拉馬克乘以59/12的積，就會發現這個人總共支付了德拉馬克。丟番圖說這個人支付了“平方數的錢”。支付的錢數必須是某個數的平方。令人好奇的是，丟番圖認為是個平方數，因為它可以表示為：

分母和分子都是平方數：分別是17和2的平方。因此，是（即）的平方。丟番圖進一步說：“如果這個數再加上60，結果還是一個平方數，該平方數的根是整個酒的數量。”這里的“整個”不是指整數。丟番圖（或者說是《算術》英文版的譯者托馬斯·哈斯爵士）的意思是指度量的總份數。60加是，也就是有理數：

丟番圖再一次認為這個數是平方數，因為它的分子和分母都是平方數：分別是23和2的平方。因此，總的度量數是23/2（即），這同樣可以通過將79/12和59/12相加得到。

《算術》中最著名的問題也許要算第2本書的第8個問題：將給出的平方數分解為兩個平方數的和，也就是說，求x、 y、 z，使它們滿足：

x2+y2=z2

這個問題的幾何解釋是畢達哥拉斯定理所描述的直角三角形三條邊之間的關系。

這個問題有許多整數解，例如x、y、z分別等于3、4、5（兩個平方數9和16的和等于25）。這個簡單的結果顯然不是丟番圖所希望的。他設定了一個“給出的平方數”（也就是z2）等于16，于是其他兩邊分別等于144/25和256/25。對于丟番圖來說，這些數當然都是平方數，其中第一個數是12/5的平方，第二個數是16/5的平方，并且它們的和是4的平方：

丟番圖允許有理數解并不重要，因為這個解等價于一個整數解。簡單地將等式兩邊同乘以52（即25），即可得到：

122+162=202

即144加256等于400。事實上，這是同一組解，它們的不同僅在于度量邊的方式不同。丟番圖的問題闡述中，斜邊是4。這可能是4英尺。現在用一個單位長度不同的尺子去測量，比如單位長度等于五分之一英尺。用這個尺子測量，這條斜邊就等于20，其他兩條邊分別為12和16。

整數是在人們開始計數之時出現的，有理數也許是在人們開始測量時出現的。如果一根胡蘿卜的長度等于3根手指的寬度，另一根胡蘿卜的長度等于4根手指的寬度，這時第一根胡蘿卜的長度就是第二根的。

有理數有時也稱為可通約數，因為長度被表示成有理數的兩個物體總可以重新度量為整數長度，你只需要將新的度量單位變得足夠地小。

丟番圖的《算術》是用希臘語寫的，至少有部分文稿被翻譯成了阿拉伯文。當它開始在歐洲數學界產生影響的時候，在1575年首次被翻譯成拉丁語，之后在1621年有了更好的版本。費馬（1601—1665）曾擁有一本1621年的拉丁語版《算術》，并在其空白處寫滿了筆記。1670年，費馬的兒子公布了這些筆記以及拉丁文版的《算術》。在這道問題旁有這樣一段筆記，費馬寫道：

另一方面，將一個立方數分解為2個立方數，或者將一個4次方數分解為兩個4次方數，亦或將除平方之外的任何乘方分解為兩個有同冪的乘方，這些都是不可能的。對此，我已經發現了一個非常漂亮的證明，但是這兒的空白之處不夠寫下它。

費馬宣稱，例如：

x3+y3=z3

是沒有整數解的，并且冪為4、5、6及之后的類似方程都沒有解。這并不明顯。等式：

x3+y3+1=z3

非常接近于

x3+y3=z3

而且它有許多整數解，例如x、y、z分別等于6、8、9。等式

x3+y3-1=z3

同樣相似，也有許多整數解，例如9、10、12。為什么這兩個相似的等式有解，但是

x3+y3=z3

沒解呢？

丟番圖在《算術》中介紹的問題都有解，但是許多丟番圖方程，例如費馬描述的方程，看起來并沒有解。對于數學家來說，確定一個丟番圖方程是否有整數解比求解特定的丟番圖方程更加有趣。

費馬沒有寫出的證明就是大家熟知的費馬最后定理（有時也稱費馬大定理）。多年來，人們普遍相信，不管費馬當時想到了怎樣的證明，這個證明也許是錯的。英國數學家安德魯·懷爾斯（1953—）從10歲開始就對這個問題產生了興趣，到了1995年，費馬最后定理才最終被他證明。（人們很早就證明了，對于一些特殊情況，例如指數為3時，方程是無解的。）

很顯然，證明某些丟番圖方程沒有解要比找到一個解（如果有）更具挑戰性。如果你知道某個特定的丟番圖方程存在解，可以簡單地驗證所有的可能性。由于允許的解只能是整數，因而你可以首先嘗試1，然后是2、3及之后的數。如果你不想做這些繁重的工作，可以寫一個計算機程序測試所有的可能性，程序遲早會幫你找到答案的。

但是，如果并不知道是否存在解，那么這個用計算機蠻力解決的方案就不合適了。你可以不斷嘗試，但怎樣知道何時該放棄呢？你怎么知道下一步將要測試的一組數字不是所要搜尋的那組數字呢？

麻煩來自這些可惡的數字：它們有無窮多個。