前言 數學踏上新的征程

人們常說，剛剛過去的一個世紀是數學真正的黃金時代。數學在20世紀的進步比先前所有的世紀加起來還要大。然而，剛剛開始的這個世紀也可能同樣是數學發展的好時候。或許，數學在這個世紀的變遷會和20世紀一樣巨大，甚至更為驚人。引發這種想法的信號之一是一場漸變：自20世紀70年代開始，數學方法的基石——證明的概念逐漸發生演變，讓一個古老卻有些被人忽視的數學概念重新回到了舞臺中央，這就是“計算”。

計算能成為引發革命的導火索，這看起來有點不合常理。算法，比如做加法和做乘法的算法，常常被視為數學知識中最基礎的一部分，做計算也經常被看成是缺乏創造性的枯燥工作。數學家們自己對計算也頗有成見，勒內·托姆就曾說過：“我的論述中很大一部分屬于純粹的猜想，大家基本上可以把它們看成是夢話。我接受這種定性……如今，世界上到處有這么多學者在做計算，難道有人做夢不是件好事嗎？”用計算來做夢，大概還真有點難度啊……

不幸的是，對計算的偏見恰恰根植于“數學證明”這一概念的定義里。確實，歐幾里得以降，“證明”的定義就是利用公理和演繹規則構建的一套推理。然而，要解決一個數學問題，僅僅需要構建一套推理嗎？數學的實踐難道沒有告訴我們，解決問題需要把推理的步驟和計算的步驟巧妙地融合起來嗎？公理化方法若局限在推理中，它所展現的數學視野恐怕也會十分狹隘。正是因為人們對約束過多的公理化方法多有批評，才讓計算有機會重新出現在數學的舞臺上。現在，已有一些研究工作（它們之間未必有關聯）漸漸開始質疑推理高于計算的優勢地位，并倡導一種更為平衡的觀點，讓兩者互為補充。

這場革命讓我們重新考量推理和計算之間的關系，同時也促使我們重新審視數學與物理學、生物學等自然科學之間的對話，特別是數學為何能在這些學科中發揮難以理解的強大作用這一古老問題，以及自然理論的邏輯形式這一全新問題。此外，這場革命給“分析判斷”和“綜合判斷”等哲學概念帶來了新的火花。它還讓我們反思數學與計算機科學之間的關系，而且數學似乎是唯一一門不需要借助機器的科學，它為什么如此獨特？

最后，最振奮人心的是，這場革命讓我們隱約看到了一些解決數學問題的新方式，它擺脫了過去的技術強加給證明長度的枷鎖——數學也許正踏上新的征程，去探索從未涉足的全新領域。

誠然，公理化方法的危機并不是憑空出現的。從20世紀上半葉起就有許多先兆，特別是兩種理論——可計算性理論和構造性理論的出現。這兩種理論本身雖然沒有質疑公理化方法，卻重新確立了計算在數學大廈中的地位。在討論公理化危機之前，我們會簡要回顧這兩個概念的歷史。不過，還是讓我們先上溯遠古，探尋計算這一概念的起源，看看古希臘人對數學的“發明”過程吧。