第四節 基于主成分分析的多點相對連通系數

前面提出的RCC指標表征了任一節點對于某一目標節點的影響，但在將此定義向多個目標節點組成的目標節點集擴展時，由于任一節點相對于各個目標點的RCC指標在數學上不是線性獨立的，其總的影響系數不能簡單地通過加權相加得到。

為解決此問題，可把任一節點所對應的連通關系集合表示成網絡中n個節點對其影響的線性組合。這樣每個節點可看作由n個屬性來描述的一個對象，相應節點屬性的屬性值為對應的RCC值。為消除相關屬性間的相互影響，可采用主成分分析的方法對其進行變換，以求得在數學上彼此獨立的主成分來合成總的影響系數。

奇異值分解是主成分分析的主要工具，其實施過程如下。

假設目標節點集內有k個節點，每個節點可看作n維空間中的向量vi，則目標節點集中的所有向量可組成一個k×n的矩陣：

其中矩陣的元素vij是任一節點i對某一目標節點j的影響程度，正好可以使用前面提出的相對連通系數RCC。

將此矩陣看作觀測矩陣，并轉換成平均偏差形式。定義其協方差矩陣為S＝AAT，其中：

對A作奇異值分解：

其中U為A的左奇異向量矩陣，∑是一擬對角矩陣：

對角線上的元素是A的奇異值，代表主成分向量中保存的連通性信息量的大小。

A的右奇異向量矩陣V是一n×n正交矩陣，其中的列向量就是與A的奇異值對應的主成分向量，依次代表了第一主成分、第二主成分等變換后的維度方向。由于矩陣是正交的，這些主成分方向都相互垂直，對應的主成分向量都是線性無關的。這樣，矩陣B中那些彼此相關的向量經奇異值分解后就轉換成了線性無關的主成分向量。

一個主成分向量的n個分量對應于該向量在原n維空間Rn中n個節點方向的坐標值，代表了各個節點對于整個多目標節點集在該主成分方向的影響程度。由于有多個主成分向量，因此必須把這些向量合成在一起才能得到各節點對于多目標節點集總的影響程度。這里因為各主成分對應的奇異值代表該向量中的連通性信息量的大小，因此在合成時可以用對應的奇異值作為權值進行加權累加。由于各個主成分向量是線性獨立的，所以這時可以不必擔心線性相關的問題。最終得到的向量的分量值代表了各節點對于多目標節點集總的影響程度，可看作前述相對連通系數概念在多目標節點集上的擴展：

根據主成分向量的權值合成針對多目標節點集的相對連通系數的流程如圖3-4所示。