午休的圖書館像被按下了靜音鍵，陽光透過高大的玻璃窗，在地板上投下格子狀的光斑，空氣中浮動著舊書頁特有的油墨香。四人選了靠窗的長條木桌，桌角的綠蘿垂著幾片新葉，葉尖的水珠在光線下亮得像碎鉆。

張舒白把書包往桌上一甩，掏出那本燙金封面的奧數(shù)真題集，翻到夾著書簽的一頁，用手指敲了敲題目：“來，大學霸，看看這道題，我昨晚跟它死磕到十一點，腦細胞陣亡了一半。”

陳宇湊過去，蘇瑤和劉若沚也跟著探過身。題目是這樣的：

“在平面直角坐標系中，已知點A(0，2)，B(4，0)，C(0，0)，D為線段AB上一點，DE⊥AB交x軸于點E，DF⊥DE交y軸于點F。當D在線段AB上運動時，求線段EF中點M的軌跡方程，并判斷軌跡形狀。”

蘇瑤光是讀題就皺起了眉，筆尖在草稿紙上畫著坐標系，把A、B、C三點標出來后，發(fā)現(xiàn)AB是連接(0，2)和(4，0)的直線，C在原點。她戳了戳陳宇的胳膊：“DE⊥AB，DF⊥DE，這線也太多了吧，怎么找中點M的坐標啊？”

陳宇沒立刻回答，先在草稿紙上寫下AB的直線方程。他的筆尖劃過紙張，發(fā)出沙沙的輕響：“先求AB的解析式。已知A(0，2)和B(4，0)，斜率k=(0-2)/(4-0)=-1/2，所以方程是y=-1/2 x + 2，x∈[0，4]。”

劉若沚點點頭，補充道：“因為DE垂直于AB，所以DE的斜率應該是AB斜率的負倒數(shù)，也就是2。”她的聲音很輕，卻像精準的指南針，一下子抓住了關鍵。

張舒白用鉛筆在AB線上點了個D，畫了條垂直于AB的直線DE，又在E點處拐了個直角，畫了DF⊥DE：“問題是D在動，E和F的坐標也跟著變，怎么表示M的坐標呢？”

陳宇在草稿紙上畫了個清晰的坐標系，在AB線段上標了D點，設D的坐標為(x?，y?)。“既然D在AB上，肯定滿足AB的方程，所以y?=-1/2 x?+ 2，其中0≤x?≤4。”他的筆尖在(x?，y?)下方畫了條波浪線，“這是第一個關鍵，用x?表示y?，減少變量。”

蘇瑤在筆記本上抄下這個關系式，咬著筆桿嘀咕：“那DE的方程呢？知道斜率是2，又過D點，應該是y - y?= 2(x - x?)吧？”

“對。”陳宇沖她點頭，眼里帶著鼓勵，“接下來求E點坐標，E是DE與x軸的交點，x軸上的點縱坐標都是0，所以把y=0代入DE的方程就行。”

他提筆演算：“0 - y?= 2(x_E - x?)→ x_E = x?- y?/2。因為y?=-1/2 x?+ 2，代入進去的話……”

張舒白搶過筆，在草稿紙上飛快計算：“x_E = x?-(-1/2 x?+ 2)/2 = x?+(x?/2 - 2)/2 = x?+ x?/4 - 1 = 5x?/4 - 1。所以E點坐標是(5x?/4 - 1， 0)？”

劉若沚拿出直尺，對照著坐標系比了比：“這個結果看起來合理，當x?=0時，D點與A重合，此時E點坐標應該是(5×0/4 -1， 0)=(-1，0)，代入DE方程驗證一下：DE過(0，2)，斜率2，方程是y=2x+2，與x軸交點確實是(-1，0)，沒錯。”

蘇瑤看著他們一步步推導，心里稍微踏實了些，但提到DF時又皺起眉：“DF垂直于DE，DE的斜率是2，那DF的斜率應該是-1/2吧？”

“聰明。”陳宇笑著夸了句，蘇瑤的臉頰悄悄紅了，“DF過D點(x?，y?)，斜率-1/2，所以方程是y - y?=-1/2(x - x?)。而F是DF與y軸的交點，y軸上的點橫坐標都是0，代入x=0……”

他在草稿紙上寫下：y_F - y?=-1/2(0 - x?)→ y_F = y?+ x?/2。再把y?=-1/2 x?+ 2代入，得到y(tǒng)_F =(-1/2 x?+ 2)+ x?/2 = 2。

“哎？y_F居然是2？”蘇瑤驚訝地睜大眼睛，“不管D怎么動，F(xiàn)點的縱坐標都是2？”

張舒白也愣了一下，隨即拍了下桌子：“還真是！那F點坐標就是(0，2)？不對啊，當D在A點時，DF垂直于DE，DE是從A(0，2)出發(fā)垂直AB的直線，也就是y=2x+2，那DF斜率-1/2，過(0，2)，方程是y=-1/2 x + 2，與y軸交點確實是(0，2)，和A點重合？”

劉若沚輕輕點頭：“對，這說明F點其實是定點(0，2)？但等一下，當D在B點時，D坐標是(4，0)，DE的方程是y=2(x-4)=2x-8，與x軸交點E是(4，0)，也就是D和E重合？這時候DF垂直于DE，DE斜率2，DF斜率-1/2，過(4，0)，方程是y=-1/2(x-4)，與y軸交點F是(0，2)，確實還是這個點。”

陳宇把F點坐標標在圖上：“看來不管D怎么動，F(xiàn)都是(0，2)，和A點重合？這倒是個隱藏的規(guī)律，能省不少事。”

蘇瑤盯著F點的坐標，突然覺得沒那么難了：“那EF的中點M，坐標就是E和F的坐標平均值吧？E是(5x?/4 -1， 0)，F(xiàn)是(0，2)，所以M的橫坐標x=(5x?/4 -1 + 0)/2=5x?/8 - 1/2，縱坐標y=(0 + 2)/2=1？”

她話音剛落，張舒白就笑了：“小蘇同學可以啊，這步算得挺快。不過縱坐標居然是1？也就是說M點的y坐標始終是1？”

劉若沚在坐標系上畫了條y=1的水平線：“看起來是這樣。那只要把x用x?表示，再消去x?就行。因為x=5x?/8 - 1/2，所以x?=(8x + 4)/5。而x?的取值范圍是0≤x?≤4，代入進去的話……”

陳宇接過話頭：“當x?=0時，x=5×0/8 -1/2=-1/2；當x?=4時，x=5×4/8 -1/2=5/2 -1/2=2。所以x的取值范圍是-1/2≤x≤2。”

他把這些關系整理成軌跡方程：“因為y始終等于1，x在[-1/2，2]之間，所以M的軌跡是一條線段，方程是y=1（-1/2≤x≤2）。”

蘇瑤看著最終的結論，還是有點發(fā)懵：“就這么簡單？一條水平線段？”

張舒白拿過草稿紙，從頭到尾檢查了一遍：“步驟沒問題，邏輯也通順。尤其是發(fā)現(xiàn)F是定點這步，簡直是點睛之筆，不然得繞好多彎路。”他沖陳宇豎了個大拇指，“宇哥，你這思路夠絕的，我昨晚盯著DF的方向琢磨了半天，愣是沒發(fā)現(xiàn)F點不動。”

陳宇撓了撓頭，有點不好意思：“其實也是一步步試出來的，先設參數(shù)，再找關系，最后消參，都是課本里的方法。”

蘇瑤還是皺著眉，手指點著E點的坐標推導過程：“為什么x_E算出來是5x?/4 -1啊？我剛才自己算的時候，得到的結果不一樣。”

陳宇把她的草稿紙拉過來，看到她在代入y?時符號弄錯了：“你看這里，y?是-1/2 x?+ 2，所以-y?/2應該是-(-1/2 x?+ 2)/2=(x?/2 - 2)/2，而不是直接寫成-x?/4 -1，符號錯了就全錯了。”

他拿起紅筆，在錯誤的地方畫了個圈，又重新演算了一遍：“代數(shù)運算最忌諱符號出錯，尤其是帶負號的項，最好像這樣分步寫，不容易亂。”

蘇瑤看著紅筆標注的地方，臉頰發(fā)燙：“難怪我算出來的E點坐標總覺得奇怪，原來是這里弄錯了。”

張舒白湊過來看了一眼，打趣道：“小蘇同學，你這不是不會思路，是粗心啊。以后考試要是因為符號丟分，可別哭鼻子。”

蘇瑤瞪了他一眼：“要你管！我以后仔細點就是了。”她嘴上不服氣，卻還是把陳宇的演算步驟工工整整抄在筆記本上，旁邊畫了個小小的感嘆號提醒自己注意符號。

“對了，”劉若沚突然開口，指著題目里的“DF⊥DE”，“其實這里還可以用向量來解，可能更直觀。向量DE和向量DF垂直，它們的點積為零，不過最后得到的結果應該是一樣的。”

她拿起筆，在草稿紙另一側寫下向量表達式：“向量DE=(x_E - x?，-y?)，向量DF=(-x?， 2 - y?)，因為垂直，所以(x_E - x?)(-x?)+(-y?)(2 - y?)=0。結合DE的斜率是2，也就是(-y?)/(x_E - x?)=2→ x_E - x?=-y?/2，代入上式的話……”

陳宇看著她的推導，點了點頭：“確實能得到同樣的結果，向量法更適合空間幾何，但平面幾何里用參數(shù)法可能更簡單些。”

張舒白把筆帽扣上，往后靠在椅背上：“不管用什么方法，解出來就行。不過這道題藏得夠深的，居然把定點F藏在A點，不仔細算根本發(fā)現(xiàn)不了。”

蘇瑤把筆記本合上，長舒了一口氣：“雖然中間卡了好幾次，但聽你們一講，好像也沒那么難。”她看著陳宇，眼里帶著點感激，“剛才謝謝你啊，不然我還在糾結符號呢。”

陳宇笑了笑：“沒事，多練幾道題就好了。其實這類軌跡問題，關鍵是找到參數(shù)，把動點坐標用參數(shù)表示出來，再消去參數(shù)，就像剝洋蔥，一層一層來，總能剝到芯。”

陽光慢慢移到桌中央，照在四人攤開的習題冊上。張舒白拿出手機看了眼時間：“快上課了，下午還有滅絕師太的課，得回去瞇一會兒。”

劉若沚把草稿紙整理好，疊成整齊的方塊：“這道題的思路很典型，我回去整理一下，發(fā)在群里吧。”

蘇瑤把筆記本放進書包，突然想起什么，問陳宇：“下午的課要講圓錐曲線，我昨天預習的時候沒看懂離心率的公式，你能……”

“沒問題。”陳宇沒等她說完就點頭，“課間找我就行。”

張舒白拍了拍蘇瑤的肩膀：“小蘇同學，加油啊，別到時候比賽時就你拖后腿。”

“你才拖后腿呢！”蘇瑤推了他一把，“我肯定比你強。”

兩人又拌了幾句嘴，劉若沚和陳宇相視一笑，拿起書包跟在后面。圖書館的門在身后輕輕合上，把油墨香和解題的專注留在了安靜的午后。走廊里，張舒白還在跟蘇瑤爭論誰的解題速度更快，劉若沚偶爾插一兩句，陳宇走在最后，聽著前面的歡聲笑語，嘴角不自覺地彎了起來。

他低頭看了眼手里的習題冊，剛才那道題的解法還清晰地留在紙上，突然覺得，這場原本只是為了比賽的刷題，好像因為身邊這三個人，變得有意思多了。