第一章 數(shù)與代數(shù)

代數(shù)的背景故事

在我們的學(xué)生時(shí)代，黑板上出現(xiàn)的x與y，代表著這樣一個(gè)始點(diǎn)，于此數(shù)學(xué)跨越了算術(shù)的范疇，而通過(guò)獲取一種自有語(yǔ)言進(jìn)入了更高的領(lǐng)域。邁進(jìn)了代數(shù)的大門(mén)，數(shù)學(xué)這門(mén)學(xué)科由此發(fā)展出令人驚訝的力量，給我們展現(xiàn)了以其他任何方式都無(wú)法發(fā)現(xiàn)的內(nèi)容?，F(xiàn)代科學(xué)以數(shù)學(xué)為基礎(chǔ)，而數(shù)學(xué)便是通過(guò)對(duì)代表著被關(guān)注量的符號(hào)進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算而運(yùn)作的。確切的物理關(guān)系通過(guò)代數(shù)這樣一種工具被揭示出來(lái)，包括最著名的質(zhì)能方程E = mc2，以及許多其他方程。就像愛(ài)因斯坦的狹義相對(duì)論中出現(xiàn)的這則等式一樣，方程式都是以實(shí)驗(yàn)為基礎(chǔ)的物理模型的結(jié)果。盡管如此，這種關(guān)系本身就是通過(guò)代數(shù)來(lái)表達(dá)的。代數(shù)賦予如下重要的結(jié)論以威力，即能量與質(zhì)量是一回事兒；而這就是位于底層的代數(shù)無(wú)可置疑的正確性。代數(shù)構(gòu)成了所有現(xiàn)代系統(tǒng)化研究的基礎(chǔ)。盡管這些研究的成果可以被融合進(jìn)科學(xué)軟件之中，但若沒(méi)有代數(shù)，進(jìn)步是不可能的。

“algebra”（代數(shù)）一詞源于阿拉伯語(yǔ)詞匯“al-gebr”，意思是“折斷部分的復(fù)位”。11世紀(jì)時(shí)，或許正是伊斯蘭世界代表著數(shù)學(xué)領(lǐng)域最復(fù)雜巧妙的文明。不過(guò)，那時(shí)還沒(méi)有見(jiàn)于現(xiàn)代文本中那種類(lèi)型的代數(shù)運(yùn)算；中世紀(jì)的數(shù)學(xué)寫(xiě)作是修辭式的，一切都用言語(yǔ)描述，這種風(fēng)格遍及馬可 · 波羅所處的世界。我們也許能辨別出的一種代數(shù)，直到17世紀(jì)才出現(xiàn)。紙張的稀缺可能阻礙了數(shù)學(xué)符號(hào)體系的自然發(fā)展；不過(guò)也應(yīng)該意識(shí)到，古代學(xué)者面對(duì)著諸多遮蔽了算術(shù)之根本數(shù)學(xué)面貌的障礙。我們?cè)趫?zhí)行代數(shù)運(yùn)算時(shí)會(huì)引入任意符號(hào)，最常見(jiàn)的是x和y，用來(lái)表示確定而未知的數(shù)，并根據(jù)算術(shù)法則對(duì)這些符號(hào)進(jìn)行處理。無(wú)論數(shù)x與y可能是什么，支撐我們所做的一切的理由是，在我們運(yùn)算中出現(xiàn)的關(guān)系是真實(shí)的，因?yàn)樗鼈兪俏覀兂跏技僭O(shè)及適用于所有數(shù)的法則的結(jié)果，與其特定的數(shù)值無(wú)關(guān)。用代數(shù)符號(hào)來(lái)表示未知量是一種便利的縮簡(jiǎn)；誠(chéng)然簡(jiǎn)潔肯定有助于推理，但代數(shù)真正的力量源于符號(hào)賦予闡釋的普適性，這使得它們能以一種強(qiáng)有力的方式被運(yùn)用，而這種方式是詞匯無(wú)法單獨(dú)勝任的。

為了認(rèn)識(shí)到代數(shù)的潛力，我們要能以無(wú)限制的方式移動(dòng)我們的符號(hào)，即自如地利用算術(shù)運(yùn)算，特別是成對(duì)的基本運(yùn)算：加法與減法、乘法與除法。為此，我們需要一套適用的計(jì)數(shù)系統(tǒng)。比如，我們?nèi)绻J(rèn)為負(fù)值毫無(wú)意義而加以拒絕，或者進(jìn)一步從根本上不把零看作一個(gè)數(shù)，便會(huì)受到妨礙而自我否定代數(shù)所賦予的探索未知量的世界的自由。我們認(rèn)為代數(shù)世界的存在是當(dāng)然的。不要說(shuō)在其被恰當(dāng)?shù)乩斫饧暗靡园l(fā)展之前，甚至在其開(kāi)始被窺視之前，就有大量的困惑需要清除。過(guò)去的智者會(huì)震驚于現(xiàn)代的某位學(xué)生能夠輕松地用代數(shù)來(lái)徹底地解決問(wèn)題；而在他們看來(lái)這些問(wèn)題是不可能的，甚至可能是難以清晰描述的。比如，學(xué)校中的代數(shù)便足以證明整數(shù)的平方根如 或 ，要么是另一個(gè)整數(shù)，要么根本不是分?jǐn)?shù)。古希臘學(xué)者為這個(gè)問(wèn)題付出了巨大的努力，并且運(yùn)用他們所掌握的幾何方法來(lái)證明大到 的一些特定平方根不是分?jǐn)?shù)。然而，這個(gè)平常的問(wèn)題難倒了他們。不過(guò)，這個(gè)問(wèn)題和其他許多超越古人所及范圍的問(wèn)題，完全可以為牛津大學(xué)出版社通識(shí)讀本系列的讀者所理解，正如你即將讀到的那樣。

計(jì)數(shù)系統(tǒng)

為了駕馭代數(shù)的力量，我們需要一套滿足其需求的計(jì)數(shù)系統(tǒng)。部分要求是，自由地運(yùn)用適合于任意數(shù)或未知數(shù)的符號(hào)來(lái)執(zhí)行四個(gè)基本的算術(shù)運(yùn)算。但是，普通的自然數(shù)集合就這一點(diǎn)來(lái)說(shuō)是有缺陷的。1， 2， 3， …這些由計(jì)數(shù)產(chǎn)生的數(shù)被稱(chēng)為自然數(shù)；因?yàn)橐坏┪覀冮_(kāi)始對(duì)事物進(jìn)行計(jì)數(shù)，這些數(shù)或大或小自然而然地就出現(xiàn)了。自然數(shù)的集合用?表示，?對(duì)于加法運(yùn)算和乘法運(yùn)算是封閉的。這意味著假如我們由兩個(gè)自然數(shù)出發(fā)，可以把它們相加或相乘，而結(jié)果始終是一個(gè)自然數(shù)。不過(guò)，減法則是另一回事兒。減法是一個(gè)數(shù)減去另一個(gè)數(shù)，是加法的反向運(yùn)算或逆運(yùn)算，而數(shù)學(xué)家更樂(lè)意用后者來(lái)表述。就像3 — 5這樣的算術(shù)題中的減法運(yùn)算，把我們從?中帶了出來(lái)，而進(jìn)入人們平常所說(shuō)的負(fù)整數(shù)的范圍。出現(xiàn)這種困難時(shí)，我們不會(huì)放棄，而是采取如下態(tài)度，即我們的計(jì)數(shù)系統(tǒng)目前不夠完備，應(yīng)該擴(kuò)展，使得我們的計(jì)算能繼續(xù)下去。

數(shù)的典型范例遍布高等數(shù)學(xué)及工程的所有領(lǐng)域，即通常所說(shuō)的復(fù)數(shù)域，由?表示。從?一路到?的旅程很長(zhǎng)，直到19世紀(jì)才真正完成。在此之前，關(guān)于不同于自然數(shù)的數(shù)，對(duì)其真實(shí)性、意義及有效性還有許多哲學(xué)上的煩惱。不過(guò)，我們將毫不遲疑地介紹所需類(lèi)型的數(shù)。

說(shuō)到此處，我們首先為?關(guān)聯(lián)零這個(gè)數(shù)，用0來(lái)表示，即使得任何數(shù)加上或減去后數(shù)值都不會(huì)改變的那個(gè)數(shù)。必須承認(rèn)0并不是我們有時(shí)稱(chēng)之為自然數(shù)的正整數(shù)中的一員；不過(guò)，0仍然是個(gè)數(shù)，因而有必要在我們的算術(shù)系統(tǒng)中找到其自身的位置。接下來(lái)，我們?yōu)槊總€(gè)正數(shù)引入一個(gè)負(fù)的鏡像；例如， —6便是6的負(fù)“搭檔”。

盡管對(duì)于這門(mén)學(xué)科的發(fā)展并非必需，不過(guò)要描繪并解釋數(shù)的行為，通常最簡(jiǎn)單的方式是想象數(shù)沿著數(shù)軸排列。這是一條水平線，整數(shù)就被置于沿線長(zhǎng)等間距的點(diǎn)上。我們把0放在中間，正整數(shù)以自然升序向右行進(jìn)，而負(fù)整數(shù)則占據(jù)零左側(cè)的鏡像位置。

所有整數(shù)的集合，如該集合的名稱(chēng)那樣，包括正整數(shù)、負(fù)整數(shù)以及零，用符號(hào)?表示；而?代表有理數(shù)的集合，由所有分?jǐn)?shù)及對(duì)應(yīng)的負(fù)數(shù)組成。集合?包含于?，因?yàn)檎麛?shù)n即等于有理數(shù)n/1。（我們說(shuō)，?是?的子集；同樣，?是?的子集。）不過(guò)，像3/9和7/21這樣的兩個(gè)有理數(shù)被認(rèn)為是相等的，因?yàn)槎叨伎苫?jiǎn)為相同的分?jǐn)?shù)，即1/3。任何正有理數(shù)都有唯一的表達(dá)式，即約分至最簡(jiǎn)項(xiàng)的分式a/b，這里的a和b除了1之外沒(méi)有別的公約數(shù)。有理數(shù)也可以描繪成按其自然順序分布在數(shù)軸上，稠密而均勻地在整個(gè)數(shù)軸上展開(kāi)。

一個(gè)數(shù)m（或正或負(fù)）加一個(gè)正數(shù)n，我們就從m出發(fā)，在數(shù)軸上向右移動(dòng)n個(gè)點(diǎn)位，而減n則是左移n個(gè)點(diǎn)位。在集合?中，每個(gè)數(shù)n都有一個(gè)相反數(shù) —n，我們現(xiàn)在用這個(gè)性質(zhì)把減法定義為與負(fù)數(shù)相加。我們聲明，減去任何數(shù)n，即指加上其相反數(shù)—n，所以加上一個(gè)負(fù)數(shù)—n，就是在數(shù)軸上左移n個(gè)點(diǎn)位。那么，要減去一個(gè)負(fù)數(shù)—n，我們就加上它的相反數(shù)n。換句話說(shuō)，要減去負(fù)數(shù)—n，我們就在數(shù)軸上右移n個(gè)點(diǎn)位。

這種觀察事物的方式，對(duì)于如下這樣的算式

（—1）+4 = 3， 6+（—11） = —5， （—8）+6 = —2， 1 —（—9） = 1+9 = 10，

便得出了熟悉的求和結(jié)果，正如圖1所示那樣。

圖1　數(shù)軸上的加法與減法

以上式子中，—1及其他負(fù)數(shù)前后的括號(hào)并不是必需的；但被引入是為了避免以一個(gè)運(yùn)算符來(lái)開(kāi)啟一個(gè)算式，或是為了避免比如“+”和“—”兩個(gè)運(yùn)算符間的沖突。之所以有這樣做的必要，是因?yàn)槲覀冑x予了“—”兩個(gè)略微不同的含義：既用于表示取一個(gè)整數(shù)的相反數(shù)，此時(shí)是作用在單一數(shù)上的運(yùn)算符；也用來(lái)表示減法，這時(shí)是作用在有著特定順序的兩個(gè)數(shù)上的運(yùn)算符。

至此，我們尚未提及任何你可能稱(chēng)之為代數(shù)法則的內(nèi)容，來(lái)解釋我們的算術(shù)是如何運(yùn)作的。針對(duì)我們這些法則的合理解釋?zhuān)_切地說(shuō)，是取決于將減法的概念擴(kuò)展至已按自然的線性方式排列的整個(gè)整數(shù)集合。我們?cè)诘诙轮衼?lái)探究支配算術(shù)運(yùn)算的法則，并解釋這些法則是如何擴(kuò)展的，以便當(dāng)我們從一個(gè)計(jì)數(shù)系統(tǒng)轉(zhuǎn)到一個(gè)包括前者但更大的系統(tǒng)時(shí)，這些法則仍然適用。

數(shù)的因數(shù)分解

盡管一個(gè)整數(shù)除以另一個(gè)整數(shù)通常會(huì)得到一個(gè)并不屬于整數(shù)的分?jǐn)?shù)，但用一個(gè)整數(shù)除以另一個(gè)整數(shù)還是有可能得到一個(gè)整數(shù)的；而這是如何發(fā)生的，以及什么時(shí)候會(huì)發(fā)生，相關(guān)性質(zhì)是很重要的，并且在我們將要遇到的其他代數(shù)系統(tǒng)如多項(xiàng)式中也會(huì)出現(xiàn)類(lèi)似的問(wèn)題。因此，我們現(xiàn)在就來(lái)說(shuō)說(shuō)整數(shù)除法的主要性質(zhì)。我們要開(kāi)始使用冪記號(hào)（比如把2×2×2寫(xiě)作23），還有“小于”號(hào)（<）和“小于等于”號(hào)（≤）（例如，4 < 7及—3 < 2，正如各個(gè)實(shí)例中那樣，數(shù)軸上的第一個(gè)數(shù)都在第二個(gè)數(shù)的左側(cè)）。當(dāng)我們知道正在處理字母比如a、b所表示的數(shù)的乘法時(shí)，通常就把乘號(hào)看作默認(rèn)的而把算式寫(xiě)成ab的形式，或者有時(shí)也寫(xiě)作a · b，而不是a×b。我們傾向于回避繁瑣的乘號(hào)，所以有時(shí)也會(huì)把2×（—3）×4這樣的算式寫(xiě)成（2）（—3）（4）。

我們有一個(gè)整數(shù)a及另一個(gè)整數(shù)b，若b能寫(xiě)成b = ac，那么a就是b的因數(shù)1或除數(shù)，此處c本身也是一個(gè)整數(shù)（同理，那么c當(dāng)然也是b的因數(shù)）。素?cái)?shù)是像71這樣的整數(shù)，它恰有兩個(gè)正因數(shù)，一個(gè)必須是1，另一個(gè)則必須是該數(shù)本身。大于1而不是素?cái)?shù)的整數(shù)稱(chēng)為合數(shù)，因?yàn)樗怯筛〉囊驍?shù)組合而成的。例如，72 = 8×9。我們說(shuō)8是72的因數(shù)，或者說(shuō)8整除72，或者說(shuō)72是8的倍數(shù)：我們有時(shí)把這種關(guān)系記作8|72，它僅是“8為72的因數(shù)”的簡(jiǎn)略表述形式而已。盡可能一步步地對(duì)給定某數(shù)的因數(shù)進(jìn)行分解，最終會(huì)得出該數(shù)的素?cái)?shù)分解。對(duì)于上例，72 = 8×9 = 23×32。我們本可以用另一種方式求出72的素?cái)?shù)分解，即72 = 6×12 = （2×3）×（4×3） = （2×3）×（2×2×3）；不過(guò)，將素因數(shù)從最小到最大重新排列，得到的是跟之前一樣的結(jié)果；于是我們說(shuō)23×32是72的素?cái)?shù)分解?！八阈g(shù)基本定理”告訴我們，任意自然數(shù)n的素?cái)?shù)分解（用按升序排列的素因數(shù)來(lái)表示）是唯一的。這種唯一性可以由數(shù)的更為基本的性質(zhì)，即“歐幾里得引理”2推導(dǎo)出來(lái)。該性質(zhì)表明，若素?cái)?shù)p整除a與b的乘積，記作p|ab，那么p或是a的因數(shù)或是b的因數(shù)（或者可能是二者的因數(shù)）?！皻W幾里得引理”的一個(gè)等價(jià)表述是，若a與b都不是素?cái)?shù)p的倍數(shù)，那么它們的乘積ab也不是。這個(gè)性質(zhì)盡管看起來(lái)合理可信，卻并非不言自明，而我們?cè)谶@里也不打算證明歐幾里得引理。不過(guò)，我們稍后會(huì)在本節(jié)進(jìn)一步解釋該引理為什么成立。（本書(shū)關(guān)于數(shù)的章節(jié)詳細(xì)闡釋了整數(shù)的所有性質(zhì)，而這些性質(zhì)于此都被認(rèn)為是成立的。）

一個(gè)自然數(shù)a除以另一個(gè)自然數(shù)b，一般用如下方法。即要用b除a，我們就從a中將b輾轉(zhuǎn)減去多次，次數(shù)比如記作q，直到余項(xiàng)r < b。這樣，我們便有a = bq+r。這個(gè)算式是唯一的：q和r都只有唯一的值，使得該式成立；切記，我們要確保0≤r≤b —1。也有些特殊情況：比如，恰好當(dāng)a < b時(shí)，q = 0，此時(shí)r = a。更有意思的是，正好當(dāng)b|a時(shí)，r = 0，此時(shí)a/b = q。

來(lái)看一個(gè)有代表性的示例，若a = 72且b = 13，那么72 = 13×5+7，這樣我們有q = 5而r = 7。對(duì)于給定的a和b，來(lái)求算式a = bq+r的過(guò)程，被稱(chēng)為“帶余除法”3。

我們?cè)谒阈g(shù)中首次遇到的一個(gè)基本代數(shù)思想，是關(guān)于兩個(gè)正整數(shù)a和b的最大公約數(shù)的，它也被稱(chēng)為最大公因數(shù)4。顧名思義，a和b的最大公約數(shù)或最大公因數(shù)，就是a和b的公因數(shù)中最大的那個(gè)數(shù)d；因?yàn)?span id="vtunsxl" class="italic">a和b總有至少一個(gè)公因數(shù)，即1這個(gè)數(shù)，所以最大公因數(shù)必定存在。如果a和b兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)是1，那么我們就說(shuō)這兩個(gè)數(shù)互為素?cái)?shù)5。例如，15 = 3×5與28 = 22×7便互為素?cái)?shù)（盡管15和28本身并非素?cái)?shù)）。不管怎么樣，剩下的問(wèn)題就是我們可以如何計(jì)算給定兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)。

最大公因數(shù)d可以通過(guò)比較a與b的素?cái)?shù)分解來(lái)求出，因?yàn)?span id="yfftao4" class="italic">d的素因數(shù)恰是a與b的公因數(shù)。不過(guò)，求解最大公因數(shù)還有更好的方法，被稱(chēng)為“歐幾里得算法”，它不僅更快，而且還揭示了其他有用的關(guān)系。我們稍后會(huì)解釋該算法，但首先要關(guān)注公因數(shù)的某些基本性質(zhì)。

比如，假設(shè)c是a和b的任意公因數(shù)，于是有a = ct及b = cs。接下來(lái)有任意一個(gè)數(shù)r，r = ax+by，其中x和y本身是整數(shù)（可能是負(fù)數(shù)或零），那么c也是r的因數(shù)。為了看得更清楚，我們找到并“提取”算式ax+by的公因數(shù)c，如下所示：

r = ax+by = ctx+csy = c（tx+sy）。（1）

由于tx+sy也是整數(shù)，所以c實(shí)際上就是r的因數(shù)。

（1）式的一個(gè)直接結(jié)論是，它適用于我們以r = a — bq來(lái)表示的帶余除法等式，因?yàn)樗嬖V我們，a和b的任意公因數(shù)也是r的因數(shù)。同理，由a = bq+r，可知b和r的任意公因數(shù)也是a的因數(shù)。因此，a和b的所有公因數(shù)的集合，等同于b和r的所有公因數(shù)的集合；特別地，a和b的最大公因數(shù)也是b和r的最大公因數(shù)。這讓我們能處理b與r這兩個(gè)數(shù)，而不是直接處理b和a。由于r < b，我們現(xiàn)在可以將帶余除法應(yīng)用于（b，r）這對(duì)數(shù)并重復(fù)該過(guò)程，直到a和b的最大公因數(shù)出現(xiàn)，這就簡(jiǎn)化了我們求解最大公因數(shù)的問(wèn)題。這一過(guò)程被稱(chēng)為“歐幾里得算法”6。

現(xiàn)在讓我們用上述算法來(lái)處理a = 189和b = 105這兩個(gè)數(shù)。每一步，我們給要計(jì)算的兩個(gè)數(shù)標(biāo)出下劃線，并用小的數(shù)去除大的數(shù)，且從一行算式列到下一行時(shí)就舍棄大的數(shù)。余數(shù)為0時(shí)，表明上一行的余數(shù)就是所求的最大公因數(shù)，我們即終止該過(guò)程：

189 = 1×105+84，

105 = 1×84+21，

84 = 4×21，

所以，189和105的最大公因數(shù)就是21（189 = 9×21， 105 = 5×21）。

這些算式本身是有用的，因?yàn)樗鼈兛梢阅嫱疲瑥亩硎境跏嫉膬蓚€(gè)數(shù)a和b的最大公因數(shù)d。我們從倒數(shù)第二個(gè)算式開(kāi)始，并考察d，這種情況下求得21 = 105 — 84。接著，我們依次用每個(gè)等式來(lái)消除中間的余數(shù)：本例中，第一個(gè)算式給出84 = 189 — 105，于是最后我們有

21 = 105 — （189 — 105） = 2×105 — 1×189。

此外，有些有趣的理論成果，我們將在第六章來(lái)討論。本節(jié)中，我們之前證明了a和b的任意公因數(shù)c也是任何形如ax+by的數(shù)之因數(shù)；由于a和b的最大公因數(shù)d可以表示成這種形式，即可通過(guò)倒推“歐幾里得算法”的運(yùn)算過(guò)程來(lái)求出，那么可知a和b的任何公因數(shù)c整除它們的最大公因數(shù)d。進(jìn)一步說(shuō)，a′ = a/d及b′ = b/d有一個(gè)最大公因數(shù)1，因?yàn)楸热缂僭O(shè)t是a′和b′的一個(gè)公因數(shù)，那么a′ = ta″且b′ = tb″。我們要證明t = 1。（上撇號(hào)的使用是種提醒我們自己的方式，即a′和a″是a的因數(shù)：當(dāng)然，任何新符號(hào)都可以使用。）前面的等式意味著a = da′ = dta″以及b = db′ = dtb″，由此可知dt是a和b的一個(gè)公因數(shù)。然而，由于d是a和b的最大公因數(shù)，于是有t = 1，而a′和b′實(shí)際上就互為素?cái)?shù)。在我們的題例中，a = 189，b = 105，而d = 21；用這個(gè)最大公因數(shù)來(lái)做除法運(yùn)算，便有189/21 = 9及105/21 = 5，而9和5沒(méi)有公因數(shù)（除1之外）。

兩個(gè)數(shù)a和b的最大公因數(shù)可以用ax+by這種形式來(lái)表示，這一事實(shí)處于眾多與數(shù)相關(guān)的代數(shù)證明的中心位置，而“歐幾里得引理”只是許多例子中的一個(gè)。

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1　亦稱(chēng)“因子”“約數(shù)”。—譯注（以下未注明的皆為譯注）

2　該引理通常也被稱(chēng)為“歐幾里得第一定理”。

3　原文“Division Algorithm”字面即“除法算法”，數(shù)學(xué)上通常稱(chēng)作“帶余除法”。

4　漢譯也作“最大公因子”。

5　西文中“prime”一詞，漢譯也作“質(zhì)數(shù)”。所以，“互為素?cái)?shù)”也稱(chēng)“互為質(zhì)數(shù)”，有時(shí)也簡(jiǎn)作“互素”“互質(zhì)”。

6　漢譯更一般地也作“輾轉(zhuǎn)相除法”。