二 穩定狀態下全社會的消費、資產和收入

（一）有關假定

為便于探討穩定狀態下全社會的消費、資產和收入，我們提出幾個使問題得以簡化的假定：（1）人口始終按固定速度n增長；（2）人口死亡率表（分年齡的死亡率）不隨時間而變；（3）社會工資率和個人工作期間工資率都按固定速度g增長；（4）不同時刻出生的人的行為方式相同，人口學特征也相同（瞬時效用函數、時間偏好率、開始工作的年齡、工作年限、預期壽命、對未來收入的預期方式等都相同）；（5）遺產繼承發生在開始工作的時刻；（6）未成年人（20歲以下的人）沒有資產和收入，其消費由成年人供給（模型所計算的成年人的消費，已包含未成年人的消費在內）。

現在，我們根據以上假定，逐步推導全社會的消費、資產和收入。推導中需要使用幾個新的符號：C（t，x）表示時刻t年齡為x者的一個人的消費；A（t，x）表示時刻t年齡為x者的一個人的資產；Y（t，x）表示時刻t年齡為x者的一個人的收入；p（t，x）表示時刻t年齡為x者的人數。

（二）同一時刻不同年齡者的消費、資產和收入

由于經濟的不斷增長，人們的消費、資產和收入會不斷提高。在工資率始終按固定速度g增長、人口始終按固定速度n增長、人口的年齡結構保持不變的條件下，時刻t年齡為x者的消費、資產和收入，必等于時刻x年齡為x者的消費、資產和收入的exp［g（t-x）］倍。即：

C（t，x）=cxexp［g（t-x）］　　　　　　（3）

A（t，x）=Axexp［g（t-x）］　　　　　　（4）

Y（t，x）=Yxexp［g（t-x）］　　　　　　（5）

這里cx，Ax，Yx就是前面描述的典型決策者在時刻（年齡）x的消費、資產和收入。對于以上三式，若保持t不變而讓x變動，則它們表示同一時刻（t）不同年齡（x）的人的消費、資產和收入與典型決策者在不同年齡（x）的消費、資產和收入的關系。當θ=0.02，j=3，Q=65，R=0.055，g=0.04，W20=1，A20=2 時，同一時刻不同年齡的人的消費（C）、資產（A）和收入（Y）的圖形如圖2-3和圖2-4所示。

圖2-3

圖2-4

（三）某時刻全社會的消費、資產和收入

全社會的消費、資產和收入，分別等于個人消費、資產和收入的總和。由于已假定未成年人無資產和收入，且他們的消費已包含在模型所計算的成年人的消費之中，全社會的消費、資產和收入就分別等于成年人的消費、資產和收入的總和。令C（t）、A（t）、Y（t）分別表示全社會在時刻t的消費、資產和收入，N表示最大可能年齡，則有：

C（t）=∫N20C（t，x）p（t，x）dx　　　　　　（6）

A（t）=∫N20A（t，x）p（t，x）dx　　　　　　（7）

Y（t）=∫N20Y（t，x）p（t，x）dx　　　　　　（8）

在人口始終按固定速度n增長、人口的年齡結構保持不變的條件下，人口統計學給出：

p（t，x）=p（0，0）Lxexp［n（t-x）］　　　　　　（9）

式中，Lx是0歲者活到x歲的概率，它也是根據死亡率表Dx計算出來的。

（四）初始資產與遺產的關系

前面已經假定：人們20歲開始工作，開始擁有資產；某時刻開始工作的所有人的初始資產，等于該時刻死亡的所有人留下的遺產。因此有：

A（t，20）=［∫N20A（t，x）p（t，x）Dxdx］/p（t，20）　　　　　　（10）

（五）與全社會消費、資產和收入有關的幾個重要比率

令s、σ、α分別表示穩定狀態下全社會的儲蓄率、收入-資產比率和資產收益份額。這些比率的計算式如下：

s=1-C（t）/Y（t）　　　　　　（11）

σ=Y（t）/A（t）　　　　　　（12）

α=RA（t）/Y（t）=R/σ　　　　　　（13）

可以證明，在穩定狀態下，儲蓄率、收入-資產比率和資產收益份額都不隨時間而變。

需要特別指出的是，儲蓄率（s）、收入-資產比率（σ）與經濟增長率（g+n）三者之間有（14）式關系，其證明從略。

s=（g+n）/σ　　　　　　（14）