2.2　微積分

2.2.1　微分

1. 切線

如圖2-1所示，如果方程y=f(x)的圖像是曲線C，求曲線C在點P(a, f(a))的切線。

考慮點P的鄰近點Q(x, f(x)), x≠a，計算直線PQ的斜率：

通過讓x趨近a，使得Q沿曲線C趨近P。如果mPQ接近一個數(shù)值m，則經(jīng)過點P的切線t的斜率為m。

由此，曲線C：y=f(x)在點P(a, f(a))的切線是通過點P的斜率為m的直線t。

2. 導(dǎo)數(shù)

函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)記為f′(x)，定義為：

導(dǎo)數(shù)的運算法則

如果函數(shù)f(x)，(x)可導(dǎo)，則：

復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)的鏈式法則

如果函數(shù)y=f(u)，u=g(x)都是可導(dǎo)函數(shù)，則：

高階導(dǎo)數(shù)

如果函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)仍然可以求導(dǎo)，則稱這個導(dǎo)數(shù)是函數(shù)f(x)的二階導(dǎo)數(shù)，記為：

推廣到n階導(dǎo)數(shù)，記法為：

偏導(dǎo)數(shù)

如果f(x, y)是一個二元函數(shù)，其偏導(dǎo)數(shù)為分別對兩個變量求導(dǎo)數(shù)：

偏導(dǎo)數(shù)的幾何解釋

如圖2-2所示，方程z=f(x, y)為曲面S，如果f(x, y)=c，表示點P(a, b, c)位于曲面S上。固定y=b，得到垂直平面y=b與曲面S的相交曲線C1，同樣可以得到垂直平面x=a與曲面S的相交曲線C2。C1、C2都經(jīng)過點P(a, b, c)。

曲線C1是函數(shù)g(x)=f(x, b)的圖像，因此，它在P點的切線T1的斜率為g′(a)=fx(a, b)，曲線C2是函數(shù)G(y)=f(a, y)的圖像，因此，它在P點的切線T2的斜率為G′(b)=fy(a, b)。

因此，偏導(dǎo)數(shù)可以幾何解釋為，在點P(a, b, c)處，fx(a, b)是曲線C1的切線T1的斜率，fy(a, b)是曲線C2的切線T2的斜率。

高階偏導(dǎo)數(shù)

如果二元函數(shù)f(x, y)的偏導(dǎo)數(shù)fx(x, x)、fy(x, y)仍然可導(dǎo)，則它們的偏導(dǎo)數(shù)稱為f(x, y)的二階偏導(dǎo)數(shù)，記作：

注意，偏導(dǎo)數(shù)與求偏導(dǎo)數(shù)的先后次序無關(guān)，即有：

類似可以得到3階、4階，甚至n階偏導(dǎo)數(shù)。

偏導(dǎo)數(shù)的鏈式法則

如果函數(shù)u=u(x, y), v=v(x, y)在點(x, y)處可偏導(dǎo)，復(fù)合函數(shù)f(u, v)在點(u, v)處可偏導(dǎo)，那么有：

方向?qū)?shù)與梯度

函數(shù)f(x, y)在點(x0, y0)，沿著單位向量的方向?qū)?shù)為：

如果f(x, y)是x, y的可導(dǎo)函數(shù)，那么，f(x, y)在單位向量方向上的方向?qū)?shù)為：

Duf(x, y)=fx(x, y)a+fy(x, y)b

如果f(x, y)是x, y的可導(dǎo)函數(shù)，f(x, y)的梯度是一個向量函數(shù)，定義為：

因此有：

3. 單變量函數(shù)的極值

函數(shù)有極值的必要條件：如果函數(shù)f(x)在x=c處有局部極大值或極小值，而且f′(c)存在，那么，必有

f′(c)=0

注意，f′(x)=0的點稱為駐點，駐點不一定是極值點。

函數(shù)的單調(diào)性判別定理：

① 如果在一個區(qū)間內(nèi)有：f′(x)>0，那么，函數(shù)f(x)在該區(qū)間內(nèi)是上升函數(shù)；

② 如果在一個區(qū)間內(nèi)有：f′(x)<0，那么，函數(shù)f(x)在該區(qū)間內(nèi)是下降函數(shù)。

函數(shù)的凹凸性判別定理：

① 如果在一個區(qū)間內(nèi)有：f′′(x)>0，那么，函數(shù)f(x)在該區(qū)間內(nèi)的曲線是下凹的；

② 如果在一個區(qū)間內(nèi)有：f′′(x)<0，那么，函數(shù)f(x)在該區(qū)間內(nèi)的曲線是上凸的。

所謂曲線下凹，是指曲線上的每一條切線位于曲線下方，曲線上凸是指曲線上的每一條切線位于曲線上方。

函數(shù)極值判別定理：

如果f′′(x)在點c附近連續(xù)，那么：

① 如果f′(c)=0，f′′(c)>0，那么，函數(shù)f(x)在x=c處有局部極小值；

② 如果f′(c)=0，f′′(x)<0，那么，函數(shù)f(x)在x=c處有局部極大值。

4. 多變量函數(shù)的極值

函數(shù)有極值的必要條件：如果函數(shù)f(x, y)在點(a, b)處有局部極大值或極小值，而且f(x, y)的一階偏導(dǎo)數(shù)存在，那么，必有

fx(a, b)=0, fy(a, b)=0

函數(shù)極值判別定理：

如果f′′(x)在點(a, b)的某個鄰域連續(xù)，而且，fx(a, b)=0, fy(a, b)=0，令

D=D(a, b)=fxx(a, b)fyy(a, b)?[fxy(a, b)]2

① 如果D>0，fxx(a, b)>0，那么，f(a, b)是函數(shù)的局部極小值；

② 如果D>0，fxx(a, b)<0，那么，f(a, b)是函數(shù)的局部極大值；

③ 如果D<0，那么，f(a, b)不是極值，點(a, b)稱為函數(shù)的鞍點。

2.2.2　積分

積分分為定積分和不定積分兩種。函數(shù)f(x)的不定積分可以寫為：

F(x)=∫f(x)dx

其中，F(x)稱為f(x)的原函數(shù)或反導(dǎo)函數(shù)，dx表示積分變量為x。當f(x)是F(x)的導(dǎo)數(shù)時，F(x)是f(x)的不定積分。根據(jù)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，一個函數(shù)f(x)的不定積分是不唯一的，若F(x)是f(x)的不定積分，F(x)+C也是f(x)的不定積分，其中C為一個常數(shù)。

如圖2-3所示，一元正實值函數(shù)的定積分可以理解為在坐標平面上，由函數(shù)曲線、定積分區(qū)間直線和坐標軸圍成的曲邊梯形的面積。

定積分比較嚴格的定義是由黎曼（Riemann）給出的：

如果函數(shù)f(x)定義在區(qū)間a≤x≤b內(nèi)，將區(qū)間[a，b]劃分為n個寬度為的子區(qū)間，設(shè)這些子區(qū)間的端點為x0(=a), x1, x2, …, xn(=b)，在這n個子區(qū)間中，每個子區(qū)間任意選取一個樣本點，得到n個樣本點：位于第i子區(qū)間中，那么函數(shù)f(x)從a到b的定積分是：

當n足夠大時，上述極限值與樣本點的選取無關(guān)。