2.4.4　信號重構

低維觀測值包含了原信號的所有信息，但是已消除了原信號在變換域的特征，呈現類噪聲特性，如圖2-12所示。在使用信號時，還需要通過一定重構手段還原出原始信號。

信號重構需要根據觀測值y和壓縮測量矩陣Φ求出原信號x。若信號x在稀疏基ψ∈?N×N下是K稀疏的，s是其對應的稀疏表示，則感知矩陣為Ω=Φψ∈?M×N，有

y=Φψs=Ωs

（2-20）

對于式（2-20），可以利用l₀范數約束s的稀疏性來將重構問題轉化為稀疏表示的估計問題：

已有理論研究指出，若感知矩陣Ω滿足等距約束性條件且δ_2K<1，則式（2-21）的K稀疏解是唯一的。若考慮測量過程中的噪聲e，則式（2-21）變為

y=Φψs+e=Ωs+e

（2-22）

此時，信號的重構問題通過求解如下方程解決：

由式（2-23）可知，該問題即為原子選擇問題，可以采用前述介紹的MP、OMP等算法求解。

已有理論研究指出，若觀測矩陣Φ和稀疏基Ψ不相關，則求解l₁范數優化問題可以得到與l₀范數約束相同的解，這個結論從理論上保證了采用l₁范數約束進行重構的合理性。同時，基于l_p范數稀疏約束的重構方法具備更好的抗噪特性，因此在實用壓縮感知系統中，廣泛采用基于l_p范數稀疏約束的重構方法。

可以采用l₁范數來幫助理解（如圖2-13所示）：解矢量對應直線為y=Φx，在帶噪情況下，由‖y-Φx‖₂<ε的約束，超平面旋轉成為以解矢量為軸心的圓柱體。該圓柱體與范數張成的曲面相切后，交點的位置由一個點變為一個區域，該區域同時包含了無噪聲干擾時的最優解。從另一個角度，可以理解為帶噪時的最優解被限制在無噪最優解附近的一小塊區域中。因此，最終得到的解矢量與精確解是非常接近的，這就保證了重構的魯棒性。文獻［26］已證明，在觀測值受到污染時，重構信號誤差與噪聲能量呈線性關系，即