2.3.1　基本概念

在正交變換中，信號可以采用正交基表示。這些正交基實際上是一些標(biāo)準(zhǔn)信號形式，可以認(rèn)為它們形成了一個能夠準(zhǔn)確表示信號空間中所有信號的字典。就像通過字典可以找到所有詞匯一樣，也可以通過“信號字典”來查明任意信號。

稀疏表示中引入了字典這個概念。假設(shè)信號y∈?N具有表示y=Dx，其中D∈?N×N，x∈?N是稀疏的，則可稱D是表示字典（簡稱“字典”），x是在字典D中信號y的表示系數(shù)。D中的元素d_i=（d_1i，…，d_Ni）T稱為原子。

從數(shù)學(xué)的角度看，一個原子就是一個表示矢量，字典是由這樣的多個矢量構(gòu)成的矩陣。若這N個N維原子相互正交，能夠組合生成N維空間，則通常稱為完備字典，也就是說這個字典中的原子都相互獨立，無法再增加新的原子了。FFT矩陣、DCT矩陣都可以認(rèn)為屬于這類完備字典。這種字典的原子實際上都是變換空間中的正交基。

在信號的稀疏建模（稀疏表示）中，除了這種完備字典外，還可以構(gòu)造其他類型的字典。比如，可以設(shè)計一個字典D∈?N×M，M>N，此時有y=Dx，x∈?M是稀疏的。D的行數(shù)小于列數(shù)，即原子的維數(shù)低于字典中原子的個數(shù)。這種字典稱為冗余字典，因為這種字典中包含了過多的列來表示信號，存在冗余。如果冗余字典中的各原子能夠保證生成N維空間，該字典就是一個過完備字典。

圖2-5所示是一個N=2的例子。對于同一個信號，在兩個不同的字典D₁和D₂下可以有不同的表示方法。其中，D₁是Hadamard矩陣，這是一個二維正交完備字典，D₂是冗余字典（具有扁平的形狀特點，有時也稱為“扁胖”矩陣）。可以看出，針對同一個信號y=［3　2］T，在字典D₂中可以得到稀疏表示x=［5　0　0　-2］T。

圖2-5　二維信號表示的示例