2.2.1　稀疏

廣義上的信號(hào)稀疏是指信號(hào)具有如下特性：信號(hào)中只有少數(shù)元素是非零（或絕對(duì)值較大）值，其余元素均為零（或絕對(duì)值很小），即如圖2-1所示的例子。用數(shù)學(xué)符號(hào)表示就是，給定信號(hào)x∈?N，其非零元素個(gè)數(shù)‖x‖₀滿足：

‖x‖₀?N

（2-1）

即使信號(hào)在某個(gè)觀測(cè)域（如時(shí)域）內(nèi)不具有稀疏性，但在變換域中依然可能是稀疏的，這樣的信號(hào)也稱為稀疏信號(hào)。

因此，給定信號(hào)x∈?N，可以給出稀疏的兩種數(shù)學(xué)定義：

①對(duì)于正交基{ψ_i：i=1，2，…，N}，信號(hào)x在基上的投影（即變換系數(shù)）為θ_i=〈x，ψ_i〉。若存在實(shí)數(shù)0<p<2以及R>0，使得l_p范數(shù)‖θ‖_p滿足：

則稱信號(hào)在基Ψ上l_p范數(shù)稀疏[2]。

②如果信號(hào)變換系數(shù)θ_i=〈x，ψ_i〉的支撐域（即非零元素構(gòu)成的集合）{i：θ_i≠0}的元素個(gè)數(shù)小于等于K，則可以說信號(hào)x是K稀疏的[3]。

信號(hào)的稀疏通常體現(xiàn)在某一個(gè)表征域上，因此常說信號(hào)在某表征域上是稀疏的。具有稀疏特性的表征形式稱為這個(gè)信號(hào)的稀疏表示。事實(shí)上，絕大多數(shù)自然信號(hào)均存在稀疏表示。

例如，圖2-2所示的是一段雙音信號(hào)，在波形上看包絡(luò)有起伏，但絕大多數(shù)采樣點(diǎn)均不等于零，似乎沒有稀疏特性。但觀察它的時(shí)頻譜圖可以看出，在絕大多數(shù)頻率上，信號(hào)的功率分布近似為零。因此，可以說該信號(hào)在頻域上是稀疏的。

上述定義①中使用的l_p范數(shù)是描述信號(hào)稀疏的一個(gè)重要概念，它是歐幾里得范數(shù)（p=2時(shí)的l_p范數(shù)）的推廣。

圖2-3給出了在幾個(gè)典型的p取值條件下，l_p為常數(shù)的三維曲面。在這個(gè)曲面上的任意一點(diǎn)x，其坐標(biāo)（x₁，x₂，x₃）滿足‖x‖_p=L（L是常數(shù)）。當(dāng)p=2時(shí)，這個(gè)曲面就是常見的球面。當(dāng)p=1時(shí)，這個(gè)曲面就是八面體。當(dāng)p取值越來越小時(shí)，曲面由“凸”變?yōu)椤鞍肌保媾c坐標(biāo)軸的交點(diǎn)處各方向上的斜率越來越大。當(dāng)p=0時(shí)，曲面退化為多條與坐標(biāo)軸重合的線段，此時(shí)，這個(gè)曲面上的點(diǎn)都至少有兩個(gè)坐標(biāo)分量為0，即這些三維坐標(biāo)點(diǎn)都滿足如下的形式：（x₁，0，0）或（0，x₂，0）或（0，0，x₃）。這些點(diǎn)都具有了稀疏特性。

由上述分析可知，當(dāng)p=0時(shí)，l_p范數(shù)對(duì)應(yīng)的信號(hào)稀疏特性最嚴(yán)格。雖然式（2-2）中p不能為0，l₀范數(shù)的嚴(yán)格定義不滿足式（2-2）的形式，但由于l_p范數(shù)稀疏在數(shù)學(xué)推導(dǎo)上非常方便，因此很多情況下都直接采用l₀這種廣義的信號(hào)稀疏定義方式。