1.4　畫線作圖基本知識

木工畫線表示方法見表1-19。

1.4.1　直角畫法

（1）用方尺畫直角

用方尺畫直角如圖1-8所示。

①將方尺的一邊靠緊基準線AB。

②在方尺的另一邊畫出垂直線OC。

（2）勾股弦定理畫法

用勾股弦定理畫直角，如圖1-9所示。

①用線繩按勾3、股4、弦5拉成三角形。

②BC⊥AC，∠ACB為直角。

（3）等腰三角形畫直角

用等腰三角形畫直角，如圖1-10所示。

①根據(jù)平面圖決定基準線AD和基準點D。

②延長AD，在延長線上截取DB=AD。

③分別以A、B為圓心，以大于AD長的線段為半徑做弧；兩弧交于C。

④連接CD，則∠ADC是直角。

（4）特殊三角形畫直角

特殊三角形畫直角，如圖1-11所示。

①根據(jù)平面圖決定基準線AB及基準點B。

②以B為圓心，任意長線段為半徑做弧，與直線AB交于A。

③以A為圓心，a為半徑做弧，與以B點為圓心，以a為半徑所做的弧相交于O；再以A為圓心，2a長為半徑做弧。

④連接OA并延長，使與以2a長為半徑所做的弧相交于C。

⑤連接CB，則∠ABC是直角。

（5）圓弧線畫直角

用圓弧線畫直角，如圖1-12所示。

①首先在平面圖上決定一基準線AB。

②在AB的一側(cè)任意選一點O；并以O為圓心，OB為半徑做圓弧，與直線AB交于A。

③連接OA，并延長OA與圓弧交于C。

④連接CB，則∠ABC是直角。

1.4.2　黃金比畫法

黃金比亦稱黃金律，從古希臘直到19世紀，都有人認為這種比例在造型藝術(shù)中有美學價值，所以又叫黃金分割。如在工藝品設(shè)計、建筑造型、建筑小品的長和寬的設(shè)計中用這種比例，容易激發(fā)美感。

（1）已知正方形ABCD做黃金比（圖1-13）

①以AB的中點M為圓心，MC為半徑做弧，交AB的延長線于E。

②過E做BE的垂線交CD的延長線于F。

③矩形AEFD即為黃金比。

（2）已知直線AB做黃金比（圖1-14）

①在A、B兩點做垂線。

②做NB=1/2AB。

③連NA，以N為圓心，NB為半徑做弧交NA于K。

④以A為圓心，AK為半徑做弧交A點垂線于D，連DC平行AB，則ABCD即為黃金比。

1.4.3　三等分圓周畫法

（1）二心分三法（圖1-15）

①以AB為直徑做圓。

②以B點為圓心，BO為半徑畫弧交圓周于C、D兩點。

③則A、C、D三點把圓周分為三等分。

（2）半徑截分法（圖1-16）

①以O為圓心，OA為半徑畫圓。

②以半徑OA截分圓周為六等分。

③圓上A、B、C三點把圓分為三等分。

1.4.4　六角形畫法

（1）半徑截分法（圖1-17）

①以所需六邊形的邊長a為半徑，以O為圓心畫圓。

②以圓的半徑OA截分圓周為六等分。

③將等分點A、B、C、D、E、F用直線連接，即為所求的六角形。

（2）五九分六邊法

五九分六邊法是一種近似畫法，如圖1-18所示。

①畫邊長為5和9的長方形。

②畫長方形的對角線和邊長為9的中心線。

③按所需正六角形的邊長，以長方形的對角線與中心線的交叉點為起點，向各線量出長度，連接各點便成六角形。

（3）五九分六線法（圖1-19）

①畫長方形ABCD，并使AB=9，BC=5。

②連接AC、DB交于O點。

③過O點畫AB、CD的垂線，并取OE=OF=OA。

④連接AE、BE、CF、DF，則可得到一個正六角形。

注：本方案畫圖不用圓規(guī)，精度誤差值為3.16％；取BC=5.2時，精度更高。

1.4.5　八邊形畫法

（1）里四外六法（圖1-20）

①先畫邊長為20的正方形。

②以正方形四角為起點，在四條邊上畫“里四外六”的分節(jié)點。

③連接分節(jié)點便構(gòu)成正八邊形。

（2）二四分八邊法（圖1-21）

①用一方尺畫一長方形，短邊為2，長邊為4。

②用直尺、墨斗按如圖1-21（a）所示畫出八個角的方向線。

③按所需尺寸，在各直線上由中心量截，并點上節(jié)點。

④用直線連接各點，就是所求的正八邊形圖[1-21（b）]。

1.4.6　五邊形畫法

（1）外接圓畫法（圖1-22）

①畫互相垂直的直線AC、BD，相交于O點。

②取OB的中點P。

③畫PQ等于AP。

④以A為圓心，AQ為半徑畫弧交圓于E點，連AE，即五邊形的一邊。

⑤然后以AQ為半徑，在圓周上順序截取F、G、H各點。

⑥用直線連接各點，即為所求的正五邊形。

（2）“九五頂五九，八五兩邊分”畫法（圖1-23）

①在長為10的AB線段上畫垂直平分線，垂點為C。

②以垂點C為起點，在垂直平分線上畫9.5與5.9的線段，與垂直平分線相交于D、E。

③通過9.5與5.9的分節(jié)點D畫底邊的平行線。

④以分節(jié)點D為起點，分別向兩邊取長為8的線段FD、DG。

⑤連接EG、GB、AF、FE各點，即成正五邊形。

1.4.7　五角星畫法

（1）用五邊形畫五角星（圖1-24）

①先按“五邊形畫法”畫出正五邊形。

②將五邊形中A、B、C、D、E五個點分別與相對兩點連成直線，即得所求的五星。

（2）“兩倍尺寬點五花”法（圖1-25）

①在適當?shù)奈恢萌∫稽c作為五角星的中心，從中心向任意方向畫一條直線OA作為五角星第一條方向線。

②用木工鐵方尺的外角對準中心點，一邊與OA重合。

③在方尺另一邊的內(nèi)側(cè)兩倍尺身寬度（2b）的地方點一點B，連接OB并延長，便是五角星的第二條方向線。

④方尺外角仍對準O點，一邊與OB重合，再在另一邊內(nèi)側(cè)2b處點一點C，連接OC即得第三條方向線。

⑤按上法再畫出另外兩條方向線。

⑥按所需要的尺寸在各方向線上從中心點O量截，點上點，再用直線連接各相對點，就是所求的五角星。

注：本法是近似畫法，畫時必須精確，以減小誤差。本法的優(yōu)點是畫法方便，工具簡單，只需用一把木工方尺就可畫出五角星。

1.4.8　正多邊形畫法

（1）畫已知邊長為AB的正n邊形（圖1-26）

①延長AB至D，使BD=AB，并分AD為n等分（本例為9等分）。

②以A及D為圓心，AD為半徑，畫弧得交點E，連接E、7兩點并延長。

③以B為圓心，BD為半徑畫弧，與E7的延長線交于C點。

④過A、B及C點的圓即為正n邊形的外接圓。

⑤以C點為圓心，AB長為半徑畫弧，交外接圓于F；再以F為圓心，AB長為半徑，畫弧交外接圓于G；按上述方法在外接圓上截得H、I、J、K各點，連接BC、CF、FG、GH、HI、IJ、JK、KA各點，即得所求的正n邊形。

（2）已知外接圓作多邊形（圖1-27）

①分別以A、B為圓心，AB為半徑畫弧，相交于D。

②分直徑AB為n等分（n邊形分為n等分，本例為9等分）。

③1連D及2，交圓于C，BC即正n邊形的一邊長。

④以BC為半徑，自B點起在圓周上順序量截等弧，得到C、F、G、H、I、J、K各點，連接相鄰各點，即為所求的正n邊形。

1.4.9　畫弧法

（1）垂直平分畫弧法木工遇到門窗拱形時，可用方尺畫弧，如圖1-28所示。

①畫弦長AB的垂直平分線CD，使CD等于拱高。

②連接BD，并畫BD的垂直分線EF，與CB交于F點。

③延長EF于G，使EG=1/2EF。

④用同樣方法垂直平分GB和GD，找出H點與H′點。

⑤連接D、H′、G、H、B各點的曲線就是所需圓的一半。

⑥用同法畫出另一半，即得所需圓弧。

注：分的次數(shù)越多，曲線的精度越高。

（2）三心拱曲線畫法

已知拱底寬AB及拱高CD，如圖1-29所示。

①連AD及BD。

②以C為圓心，AC為半徑畫弧交CD的延長線于E。

③以D為圓心，DE為半徑畫圓分別交AD、BD于F及G。

④畫AF、BG的中垂線，可得O1、O2及O3，以此點為圓心，以O1D、O2A、O3B為半徑畫弧，通過A、B、D三點，即為所求的三心拱曲線。

（3）四心拱曲線畫法

已知拱底寬AB及拱高CD，如圖1-30所示。

①以C為圓心，CB為半徑，畫弧交CD的延長線于C′。

②以AC及CB的中點距離EF為一邊，C′為中點，畫矩形EFGH。

③以E、F、G、H為圓心，以EB、FA、GD、HD為半徑畫弧，即得所求的四心拱曲線。

（4）二心拱曲線畫法

已知拱底寬AB及拱高CD，如圖1-31所示。

①畫AD、BD的中垂線，并交AB于E、F點。

②以E及F為圓心，AE、BF為半徑畫弧相交，即為所求的二心拱曲線。

1.4.10　橢圓形畫法

（1）同心圓畫法

已知長、短軸AB、CD，見圖1-32。

①以AB、CD為直徑畫同心圓。

②在同心圓上畫若干直徑，這些直徑與大圓、小圓相交于1，2，3…各點。

③自直徑與大圓的交點1畫垂線，與從小圓交點1所畫水平線相交于M1。同理，可得出M2、M3、M4等各個交點。

④用光滑曲線連接M1、M2、M3等交點，即為所求橢圓。

（2）四心四弧法（圖1-33）

先畫一個十字線，豎短橫長點四面；斜上去差作中垂，四心四弧代橢圓。

①先畫一個相互垂直的十字線。

②按長、短軸尺寸在十字線上點出A、A1及B、B1。

③連AB長為c，在AB上點出（a-b）的點D，畫中垂線，交BB1于O1，交AA1于O2。

④以O1為圓心，O1B為大半徑（R），畫出大弧S1（虛線示）。

⑤以B1為圓心，O1B為半徑，畫弧交短軸于O3處。

⑥以O3為圓心，R為半徑畫出大弧S3（虛線）。

⑦以O2為圓心，O2A為小半徑（r）畫出小弧S2，同前法在左側(cè)畫出O4并畫出小圓弧S4；即由O1O2O3O4為圓心畫四條弧，合成一個橢圓。

（3）八心圓畫法

已知短軸A及長軸B，畫法如圖1-34所示。

①在長軸上畫對稱的三等分，其各為（B-A）/2=C/2，得O1及O2。

②以C/2為邊長，在短軸上畫兩相連的正方形，得O3、O4、O5及O6。

③以O1O3為半徑畫弧交短軸的延長線于O7及O8。

④以O1～O8為圓心畫弧相連，即為所求的橢圓。

（4）直尺、方尺畫法

在直角坐標系中，設(shè)橢圓的長半軸a=OA，短半軸b=OB，畫法如圖1-35所示。

①取木尺上的KM=OA，JM=OB；則KJ=KM-JM為一恒值。

②令點J永遠沿軸x做左右運動；點K永遠沿y軸做上下移動。

③點M所經(jīng)過的軌跡必為一橢圓。

（5）雙心線繩畫法（圖1-36）

①用墨線彈出已知長軸AB，用方尺在AB的中點O畫AB的垂線CD與AB相交。

②以D或C為圓心，以a（AB的一半）為半徑畫弧與AB相交于F1、F2。

③在F1、F2處各釘一個釘子，用一條長AB（2a）的伸縮性線繩，將兩端固定在釘子上。

④將鉛筆套入線繩，拉緊，自A點（或B點）開始移動，并一直保持線繩兩邊處于拉直狀態(tài)，使鉛筆尖沿線滑動，經(jīng)過C（或D）到達B，即畫成橢圓的一半，用同法畫一半，即成所求橢圓。

1.4.11　雙曲線畫法

（1）已知頂點A、B及焦點F1、F2，畫雙曲線（圖1-37）

①在F1、F2的延長線上任取1、2、3等點。

②以F1、F2為圓心，1A及1B為半徑畫弧，兩弧相交得兩交點。

③再以2A及2B，3A及3B等為半徑畫弧，得若干交點，用光滑曲線連接所有交點，即為所求的雙曲線中之一支曲線。

④同理，再求出另一支曲線，這兩支曲線即為所求雙曲線。

（2）兩線拉雙曲法（圖1-38）

①用墨線彈出Ox軸線，點出已知頂點A、B及焦點F1、F2的位置在焦點上各釘一個釘子。

②將兩根線繩松松地搓合成一股，端頭分開使一支長一支短。相差為AB，長支固定在F1釘子上，短支固定在F2釘子上。

③將鉛筆夾在兩線交叉的M點間，拖拉撮合在一起的線繩往后逐漸展開，注意兩繩始終保持同一松緊，一直畫下去，便是雙曲線的一支；然后將固定的兩點F1、F2位置對調(diào)一下，重復上述方法，可畫出另一支曲線。

1.4.12　拋物線畫法

（1）連方等分法

已知拋物線寬AB及高CD，見圖1-39。

①畫矩形EFBA。

②分AE，ED為相同的等分。

③連D與AE上的各等分點，并分別與過1′、2′、3′，且平行于AE的直線相交，得a、b、c各點。

④用曲線連接a、b、c即得所求拋物線的半支；用同法可畫出另外半支，即為所求的拋物線。

（2）線繩拉拋物線法（圖1-40）

①用墨線彈出x、y軸，在x上點出已知頂點A、焦點F、準線L的位置，并在F上釘一釘子。

②畫準線：用方尺經(jīng)過準線點畫x軸的垂線L，將1根光滑細鉛絲拉緊，與準線重合，兩端釘上釘子固定。

③將同樣長的兩支線繩松松撮成一股，一端固定在F點的釘子上；另一端用活套環(huán)套在準線鉛絲上，使線繩能沿準線滑動。

④將鉛筆夾在兩線繩交叉處，從頂點開始往后拖，使撮合的線逐漸展開，在移動鉛筆的同時，應將套在準線上的線頭徐徐向y軸方向移動，并用方尺掌握方向，使這股線繩一直保持與x軸平行，便可畫出拋物線的一支；用同法畫出另一支。